Problema: Encontre o valor de \( \int_0^1 x e^x \, dx \). Resposta: \(e - 2\). Explicação: Usa integração por partes.

Para resolver a integral \( \int_0^1 x e^x \, dx \) usando integração por partes, siga os passos abaixo: 1. Escolha \( u \) e \( dv \): - \( u = x \) \(\Rightarrow du = dx\) - \( dv = e^x dx \) \(\Rightarrow v = e^x\) 2. Aplique a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Substituindo: \[ \int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx \] 3. Calcule a integral restante: \[ \int e^x \, dx = e^x \] Portanto: \[ \int x e^x \, dx = x e^x - e^x + C \] 4. Avalie de 0 a 1: \[ \left[ x e^x - e^x \right]_0^1 = \left[ 1 \cdot e^1 - e^1 \right] - \left[ 0 \cdot e^0 - e^0 \right] \] \[ = (e - e) - (0 - 1) = 0 + 1 = 1 \] Portanto, o valor de \( \int_0^1 x e^x \, dx \) é \( 1 \), e não \( e - 2 \).