Para encontrar o número de lados de um polígono que tem 90 diagonais, usamos a fórmula para calcular o número de diagonais \(d\) de um polígono com \(n\) lados: \[ d = \frac{n(n-3)}{2} \] Sabemos que \(d = 90\). Então, podemos igualar e resolver a equação: \[ 90 = \frac{n(n-3)}{2} \] Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração: \[ 180 = n(n-3) \] Rearranjando a equação: \[ n^2 - 3n - 180 = 0 \] Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Aqui, \(a = 1\), \(b = -3\) e \(c = -180\): \[ n = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180)}}{2 \cdot 1} \] \[ n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 720}}{2} \] \[ n = \frac{3 \pm \sqrt{729}}{2} \] \[ n = \frac{3 \pm 27}{2} \] Calculando as duas possibilidades: 1. \(n = \frac{30}{2} = 15\) 2. \(n = \frac{-24}{2} = -12\) (não é uma solução válida, pois o número de lados não pode ser negativo) Portanto, o número de lados do polígono é \(n = 15\). A alternativa correta é: B) 15.