2. Considere a superf́ıcie 2x2 + y2 + z2 = 9. Encontre uma equação do plano tangente à superf́ıcie no ponto P = (2,−1, 0).

Para encontrar a equação do plano tangente à superfície \(2x^2 + y^2 + z^2 = 9\) no ponto \(P = (2, -1, 0)\), siga os passos abaixo: 1. Calcule o gradiente da função: A função implícita que define a superfície é \(F(x, y, z) = 2x^2 + y^2 + z^2 - 9\). O gradiente \(\nabla F\) é dado por: \[ \nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right) \] Calculando as derivadas parciais: \[ \frac{\partial F}{\partial x} = 4x, \quad \frac{\partial F}{\partial y} = 2y, \quad \frac{\partial F}{\partial z} = 2z \] Portanto, o gradiente é: \[ \nabla F = (4x, 2y, 2z) \] 2. Avalie o gradiente no ponto \(P\): \[ \nabla F(2, -1, 0) = (4 \cdot 2, 2 \cdot (-1), 2 \cdot 0) = (8, -2, 0) \] 3. Use a fórmula do plano tangente: A equação do plano tangente em um ponto \(P_0 = (x_0, y_0, z_0)\) é dada por: \[ \nabla F(P_0) \cdot ( (x, y, z) - (x_0, y_0, z_0) ) = 0 \] Substituindo \(P_0 = (2, -1, 0)\) e \(\nabla F(2, -1, 0) = (8, -2, 0)\): \[ 8(x - 2) - 2(y + 1) + 0(z - 0) = 0 \] 4. Simplifique a equação: \[ 8x - 16 - 2y - 2 = 0 \implies 8x - 2y - 18 = 0 \] 5. A equação do plano tangente é: \[ 4x - y - 9 = 0 \] Essa é a equação do plano tangente à superfície no ponto \(P = (2, -1, 0)\).