10. Encontre o ponto do plano x + 2y + z = 1 que está mais próximo da origem.

Para encontrar o ponto do plano \(x + 2y + z = 1\) que está mais próximo da origem, podemos usar o método de Lagrange. Precisamos minimizar a distância do ponto \((x, y, z)\) à origem, que é dada pela função: \[ D = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] Entretanto, para simplificar, podemos minimizar \(D^2 = x^2 + y^2 + z^2\). Usamos a restrição do plano \(g(x, y, z) = x + 2y + z - 1 = 0\). A função Lagrange é: \[ \mathcal{L}(x, y, z, \lambda) = x^2 + y^2 + z^2 + \lambda (1 - x - 2y - z) \] Agora, derivamos e igualamos a zero: 1. \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x - \lambda = 0\) 2. \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2y - 2\lambda = 0\) 3. \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} = 2z - \lambda = 0\) 4. \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 1 - x - 2y - z = 0\) Da primeira equação, temos: \(\lambda = 2x\) Da segunda: \(\lambda = y\) Da terceira: \(\lambda = 2z\) Igualando as expressões para \(\lambda\): 1. \(2x = y\) 2. \(2x = 2z \Rightarrow z = x\) Substituindo \(y\) e \(z\) na restrição do plano: \[ x + 2(2x) + x = 1 \] \[ x + 4x + x = 1 \] \[ 6x = 1 \] \[ x = \frac{1}{6} \] Agora, substituímos \(x\) para encontrar \(y\) e \(z\): \[ y = 2x = 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \] \[ z = x = \frac{1}{6} \] Portanto, o ponto do plano que está mais próximo da origem é: \(\left(\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right)\).