Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \frac{1}{\ln(x)} \), podemos usar a regra do quociente ou a regra da cadeia. Vamos aplicar a regra da cadeia, reescrevendo a função como \( f(x) = (\ln(x))^{-1} \). A derivada de \( f(x) \) é dada por: \[ f'(x) = -1 \cdot (\ln(x))^{-2} \cdot \frac{d}{dx}[\ln(x)] \] Sabemos que a derivada de \( \ln(x) \) é \( \frac{1}{x} \). Portanto, substituindo isso na expressão, temos: \[ f'(x) = -\frac{1}{(\ln(x))^2} \cdot \frac{1}{x} = -\frac{1}{x(\ln(x))^2} \] Agora, analisando as alternativas: A) \(-\frac{1}{x(\ln(x))^2}\) - Esta é a resposta correta. B) \(-\frac{1}{\ln(x)}\) - Incorreta. C) \(\frac{1}{x(\ln(x))^2}\) - Incorreta. D) \(-\frac{1}{x^2(\ln(x))^2}\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: A) \(-\frac{1}{x(\ln(x))^2}\).