80. Qual é o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^3 + x}{\sin(x)} \)? A) 0 B) 1 C) 2 D) Indeterminado

Para resolver o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^3 + x}{\sin(x)} \), podemos usar a regra de L'Hôpital, já que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando \( x \) se aproxima de 0. 1. Verificamos a forma indeterminada: Quando \( x \to 0 \), \( x^3 + x \to 0 \) e \( \sin(x) \to 0 \), então temos uma forma \( \frac{0}{0} \). 2. Aplicamos a regra de L'Hôpital: Derivamos o numerador e o denominador: - Derivada do numerador: \( (x^3 + x)' = 3x^2 + 1 \) - Derivada do denominador: \( (\sin(x))' = \cos(x) \) 3. Recalculamos o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{3x^2 + 1}{\cos(x)} \] 4. Substituímos \( x = 0 \): \[ \frac{3(0)^2 + 1}{\cos(0)} = \frac{1}{1} = 1 \] Portanto, o limite é \( 1 \). A alternativa correta é: B) 1.