Problema 3: Encontre a derivada da função f(x) = x^2 ln(x). a) 2x ln(x) + x b) x^2 · 1/x c) 2x · 1/x + ln(x) d) 2x ln(x) - 1

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = x^2 \ln(x) \), vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \) é dada por: \[ f'(x) = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \( u(x) = x^2 \) e \( u'(x) = 2x \) - \( v(x) = \ln(x) \) e \( v'(x) = \frac{1}{x} \) Aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = (2x)(\ln(x)) + (x^2)\left(\frac{1}{x}\right) \] Simplificando a segunda parte: \[ f'(x) = 2x \ln(x) + x \] Agora, analisando as alternativas: a) \( 2x \ln(x) + x \) - Correto! b) \( x^2 \cdot \frac{1}{x} \) - Isso simplifica para \( x \), mas não é a derivada completa. c) \( 2x \cdot \frac{1}{x} + \ln(x) \) - Isso simplifica para \( 2 + \ln(x) \), que não é a derivada correta. d) \( 2x \ln(x) - 1 \) - Não é a derivada correta. Portanto, a alternativa correta é: a) 2x ln(x) + x.