Problema 8: Determine a segunda derivada de f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. a) 6x - 6 b) 6x^2 - 6 c) 3x^2 - 6x + 4 d) 6x^2 - 3

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Para determinar a segunda derivada da função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \), vamos seguir os passos: 1. Primeira derivada: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(4) = 3x^2 - 6x \] 2. Segunda derivada: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(6x) = 6x - 6 \] Agora, analisando as alternativas: a) \( 6x - 6 \) - Correto! b) \( 6x^2 - 6 \) - Incorreto. c) \( 3x^2 - 6x + 4 \) - Incorreto. d) \( 6x^2 - 3 \) - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: a) 6x - 6.

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Problema 3: Encontre a derivada da função f(x) = x^2 ln(x).

a) 2x ln(x) + x
b) x^2 · 1/x
c) 2x · 1/x + ln(x)
d) 2x ln(x) - 1

Problema 4: Calcule a série de potências de f(x) = 1/(1 - x) centrada em x = 0.

a) ∑_{n=0}^{∞} x^n
b) ∑_{n=1}^{∞} n x^{n-1}
c) ∑_{n=0}^{∞} n x^n
d) ∑_{n=0}^{∞} x^{2n}

Cálculo

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a) 2x ln(x) + x
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d) 2x ln(x) - 1

Problema 4: Calcule a série de potências de f(x) = 1/(1 - x) centrada em x = 0.

a) ∑_{n=0}^{∞} x^n
b) ∑_{n=1}^{∞} n x^{n-1}
c) ∑_{n=0}^{∞} n x^n
d) ∑_{n=0}^{∞} x^{2n}

Problema 5: Resolva a equação diferencial dy/dx = y^2.

a) y = 1/(x + C)
b) y = e^{x + C}
c) y = C e^{-x}
d) y = Cx

Problema 6: Calcule a integral ∫ e^{2x} dx.

a) (1/2)e^{2x} + C
b) e^{2x} + C
c) 2e^{2x} + C
d) (1/2)e^{2x}

Problema 7: Calcule o limite lim_{x → ∞} (3x^3 + 2x^2 + 1)/(5x^3 - x + 4).

a) 0
b) 1
c) 3/5
d) ∞

Problema 9: Calcule a integral ∫ (1/(x^2 + 4)) dx.

a) (1/2)tan^{-1}(x/2) + C
b) tan^{-1}(x) + C
c) (1/4)tan^{-1}(x) + C
d) (1/2)tan^{-1}(x) + C

Problema 10: Determine a convergência da série ∑_{n=1}^{∞} (1/n^2).

a) Diverge
b) Converge
c) Converge apenas para n par
d) Diverge para n ímpar

Problema 11: Calcule a integral ∫_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2) dx.

a) 0
b) 1/4
c) 1/3
d) 1

Problema 12: Encontre o valor de ∫_0^{π/2} sin^2(x) dx.

a) π/4
b) 1/2
c) π/8

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