Problema 5: Resolva a equação diferencial dy/dx = y^2. a) y = 1/(x + C) b) y = e^{x + C} c) y = C e^{-x} d) y = Cx

Para resolver a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y^2 \), podemos separá-la: 1. Reescrevemos a equação como \( \frac{1}{y^2} dy = dx \). 2. Integramos ambos os lados: - A integral do lado esquerdo é \( -\frac{1}{y} \). - A integral do lado direito é \( x + C \). Assim, temos: \[ -\frac{1}{y} = x + C \] Rearranjando, obtemos: \[ y = -\frac{1}{x + C} \] No entanto, como estamos lidando com uma equação diferencial, podemos considerar a forma positiva, resultando em: \[ y = \frac{1}{C - x} \] Isso se assemelha à forma da alternativa a), que pode ser reescrita como \( y = \frac{1}{x + C} \) se considerarmos \( C \) como uma constante que pode ser ajustada. Portanto, a alternativa correta é: a) y = 1/(x + C).