Problema 7: Encontre o valor de \(\int_0^1 (4x^3 - 2x^2 + 1) \, dx\). a) \(\frac{1}{4}\) b) \(\frac{1}{3}\) c) \(\frac{5}{12}\) d) \(\frac{7}{12}\)

Para resolver a integral \(\int_0^1 (4x^3 - 2x^2 + 1) \, dx\), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. A integral de \(4x^3\) é \(\frac{4}{4}x^4 = x^4\). 2. A integral de \(-2x^2\) é \(-\frac{2}{3}x^3\). 3. A integral de \(1\) é \(x\). Agora, somamos as integrais: \[ \int (4x^3 - 2x^2 + 1) \, dx = x^4 - \frac{2}{3}x^3 + x + C \] Agora, avaliamos de \(0\) a \(1\): \[ \left[ x^4 - \frac{2}{3}x^3 + x \right]_0^1 = \left(1^4 - \frac{2}{3}(1^3) + 1\right) - \left(0^4 - \frac{2}{3}(0^3) + 0\right) \] Calculando: \[ 1 - \frac{2}{3} + 1 = 1 + 1 - \frac{2}{3} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \] Portanto, o valor da integral é \(\frac{4}{3}\). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a esse resultado. Você precisa criar uma nova pergunta.