Para encontrar a derivada da função \(f(x) = \tan^{-1}(3x)\), utilizamos a regra da cadeia. A derivada da função inversa da tangente é dada por: \[ \frac{d}{dx} \tan^{-1}(u) = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx} \] onde \(u = 3x\). Assim, temos: 1. Calcule \( \frac{du}{dx} = 3 \). 2. Agora, substitua \(u\) na fórmula da derivada: \[ f'(x) = \frac{1}{1 + (3x)^2} \cdot 3 = \frac{3}{1 + 9x^2} \] Analisando as alternativas: a) \(\frac{3}{1 + 9x^2}\) - Correta. b) \(\frac{3x^2}{1 + 9x^2}\) - Incorreta. c) \(\frac{1}{1 + 9x^2}\) - Incorreta. d) \(\frac{3x}{1 + 3x^2}\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{3}{1 + 9x^2}\).