Problema 12: Calcule a integral \(\int_0^1 (x^4 - 4x^3 + 6x^2) \, dx\). a) \(\frac{1}{5}\) b) \(\frac{2}{5}\) c) \(\frac{3}{5}\) d) \(\frac{4}{5}\)

Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^4 - 4x^3 + 6x^2) \, dx\), vamos integrar cada termo separadamente. 1. A integral de \(x^4\) é \(\frac{x^5}{5}\). 2. A integral de \(-4x^3\) é \(-\frac{4x^4}{4} = -x^4\). 3. A integral de \(6x^2\) é \(2x^3\). Agora, somando as integrais, temos: \[ \int (x^4 - 4x^3 + 6x^2) \, dx = \frac{x^5}{5} - x^4 + 2x^3 + C \] Agora, vamos avaliar de \(0\) a \(1\): \[ \left[ \frac{x^5}{5} - x^4 + 2x^3 \right]_0^1 = \left( \frac{1^5}{5} - 1^4 + 2 \cdot 1^3 \right) - \left( \frac{0^5}{5} - 0^4 + 2 \cdot 0^3 \right) \] Calculando: \[ = \left( \frac{1}{5} - 1 + 2 \right) - 0 \] \[ = \frac{1}{5} - 1 + 2 = \frac{1}{5} - \frac{5}{5} + \frac{10}{5} = \frac{1 - 5 + 10}{5} = \frac{6}{5} \] Parece que houve um erro na avaliação. Vamos corrigir: \[ = \frac{1}{5} - 1 + 2 = \frac{1}{5} - \frac{5}{5} + \frac{10}{5} = \frac{1 - 5 + 10}{5} = \frac{6}{5} \] Parece que não temos essa opção. Vamos revisar as opções: a) \(\frac{1}{5}\) b) \(\frac{2}{5}\) c) \(\frac{3}{5}\) d) \(\frac{4}{5}\) Nenhuma das opções corresponde ao resultado que encontramos. Portanto, parece que a integral foi calculada corretamente, mas as opções não estão corretas. Se precisar de mais ajuda, você pode criar uma nova pergunta!