Para identificar a forma da equação \(x^2 + y^2 + 2x - 6y = 6\), precisamos reescrevê-la na forma padrão da equação da circunferência, que é \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), onde \((h, k)\) é o centro e \(r\) é o raio. Vamos reorganizar a equação: 1. Primeiro, movemos o 6 para o lado esquerdo: \[ x^2 + y^2 + 2x - 6y - 6 = 0 \] 2. Agora, agrupamos os termos de \(x\) e \(y\): \[ (x^2 + 2x) + (y^2 - 6y) = 6 \] 3. Completamos o quadrado para \(x\) e \(y\): - Para \(x^2 + 2x\), adicionamos e subtraímos 1: \[ (x^2 + 2x + 1 - 1) = (x + 1)^2 - 1 \] - Para \(y^2 - 6y\), adicionamos e subtraímos 9: \[ (y^2 - 6y + 9 - 9) = (y - 3)^2 - 9 \] 4. Substituindo de volta na equação: \[ ((x + 1)^2 - 1) + ((y - 3)^2 - 9) = 6 \] \[ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 - 10 = 6 \] \[ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 16 \] Agora temos a equação na forma padrão, onde: - O centro é \((-1, 3)\) - O raio é \(r = \sqrt{16} = 4\) Portanto, a alternativa correta é: (C) uma circunferência de centro \((-1, 3)\) e raio 4.