1. DETERMINE A INTEGRAL: ∫02X EXDX A) e2+1 B) e2-1 C) e2 D) 1

Para resolver a integral \(\int_0^2 x e^x \, dx\), podemos usar a técnica de integração por partes. Vamos definir: - \(u = x\) \(\Rightarrow du = dx\) - \(dv = e^x dx\) \(\Rightarrow v = e^x\) Aplicando a fórmula de integração por partes, que é \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\), temos: \[ \int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C \] Agora, precisamos avaliar a integral definida de 0 a 2: \[ \left[ x e^x - e^x \right]_0^2 = \left[ 2e^2 - e^2 \right] - \left[ 0 - 1 \right] \] Calculando: \[ = (2e^2 - e^2) - (0 - 1) = e^2 + 1 \] Portanto, a resposta correta é: A) \(e^2 + 1\)