3. DETERMINE O VALOR DE G(E), SABENDO QUE: G(X)=∫LN XDX E QUE G(1)=0. A) e-1 B) e C) 1 D) e+1

Para determinar o valor de \( G(e) \), onde \( G(x) = \int \ln x \, dx \) e \( G(1) = 0 \), precisamos primeiro calcular a integral de \( \ln x \). A integral de \( \ln x \) pode ser resolvida por partes. Vamos usar a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Escolhemos: - \( u = \ln x \) \(\Rightarrow du = \frac{1}{x} \, dx\) - \( dv = dx \) \(\Rightarrow v = x\) Aplicando a fórmula: \[ \int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - \int 1 \, dx = x \ln x - x + C \] Assim, temos: \[ G(x) = x \ln x - x + C \] Agora, para encontrar a constante \( C \), usamos a condição \( G(1) = 0 \): \[ G(1) = 1 \cdot \ln(1) - 1 + C = 0 \] Como \( \ln(1) = 0 \), temos: \[ 0 - 1 + C = 0 \Rightarrow C = 1 \] Portanto, a função \( G(x) \) é: \[ G(x) = x \ln x - x + 1 \] Agora, vamos calcular \( G(e) \): \[ G(e) = e \ln e - e + 1 \] Sabendo que \( \ln e = 1 \): \[ G(e) = e \cdot 1 - e + 1 = e - e + 1 = 1 \] Assim, o valor de \( G(e) \) é \( 1 \). Portanto, a alternativa correta é: C) 1.