Calcule os seguintes limites, caso existam: 13. lim x→1 sen(3x2 − 5x + 2) x2 + x − 2

Para calcular o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{\sen(3x^2 - 5x + 2)}{x^2 + x - 2} \), vamos seguir os passos: 1. Substituir \( x = 1 \) na função: - O numerador: \( \sen(3(1)^2 - 5(1) + 2) = \sen(3 - 5 + 2) = \sen(0) = 0 \). - O denominador: \( (1)^2 + (1) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0 \). Portanto, temos uma indeterminação \( \frac{0}{0} \). 2. Aplicar a regra de L'Hôpital: - Derivada do numerador: \( \frac{d}{dx}[\sen(3x^2 - 5x + 2)] = \cos(3x^2 - 5x + 2) \cdot (6x - 5) \). - Derivada do denominador: \( \frac{d}{dx}[x^2 + x - 2] = 2x + 1 \). 3. Reescrever o limite: \[ \lim_{x \to 1} \frac{\cos(3x^2 - 5x + 2) \cdot (6x - 5)}{2x + 1} \] 4. Substituir \( x = 1 \) novamente: - Numerador: \( \cos(3(1)^2 - 5(1) + 2) \cdot (6(1) - 5) = \cos(0) \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1 \). - Denominador: \( 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3 \). 5. Resultado do limite: \[ \lim_{x \to 1} \frac{\cos(3x^2 - 5x + 2) \cdot (6x - 5)}{2x + 1} = \frac{1}{3} \] Portanto, o limite é \( \frac{1}{3} \).