Calcule os seguintes limites, caso existam: 33. lim x→+∞ √x cos x + 2x2 sen(1/x) x − √1 + x2

Para calcular o limite \( \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x} \cos x + 2x^2 \sen\left(\frac{1}{x}\right) \right) \div \left( x - \sqrt{1 + x^2} \right) \), vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. 1. Numerador: - \( \sqrt{x} \cos x \) oscila entre \( -\sqrt{x} \) e \( \sqrt{x} \), mas como \( x \to +\infty \), essa parte não é dominante. - \( 2x^2 \sen\left(\frac{1}{x}\right) \) se aproxima de \( 2x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \) quando \( x \to +\infty \) (usando a aproximação \( \sen(t) \approx t \) para \( t \) pequeno). Portanto, o numerador se comporta como \( 2x \) quando \( x \to +\infty \). 2. Denominador: - \( x - \sqrt{1 + x^2} \) pode ser simplificado. Multiplicando e dividindo por \( x \): \[ x - \sqrt{1 + x^2} = x - x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = x(1 - \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}) \] - Para \( x \to +\infty \), \( \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \) se aproxima de \( 1 \), então: \[ 1 - \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \approx -\frac{1}{2x^2} \] Assim, o denominador se comporta como \( -\frac{1}{2x} \). 3. Limite: Agora, substituindo os comportamentos do numerador e do denominador: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{-\frac{1}{2x}} = \lim_{x \to +\infty} -4x^2 \] Como \( x \to +\infty \), o limite tende a \( -\infty \). Portanto, o limite é: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x} \cos x + 2x^2 \sen\left(\frac{1}{x}\right)}{x - \sqrt{1 + x^2}} = -\infty. \]