Para calcular a série de Taylor da função \( f(x) = e^x \) em torno de \( a = 0 \), utilizamos a fórmula da série de Taylor: \[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \ldots \] Calculando os termos: 1. \( f(0) = e^0 = 1 \) 2. \( f'(x) = e^x \) então \( f'(0) = 1 \) 3. \( f''(x) = e^x \) então \( f''(0) = 1 \) 4. \( f'''(x) = e^x \) então \( f'''(0) = 1 \) Assim, todos os termos da série são \( 1 \), e a série se torna: \[ 1 + 1 \cdot x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \ldots \] Portanto, a série de Taylor de \( e^x \) em torno de \( a = 0 \) é: \[ 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \ldots \] Analisando as alternativas: A) \( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \ldots \) - Correta. B) \( 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \ldots \) - Incorreta. C) \( x + \frac{x^2}{2} + x^3 \ldots \) - Incorreta. D) \( 1 + 2x + \frac{x^2}{2} + \ldots \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: A) \( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \ldots \)