Calcule a integral ∫ x^2e^x dx usando integração por partes. A) e^x(x^2 - 2) + C

Para calcular a integral \(\int x^2 e^x \, dx\) usando integração por partes, vamos seguir os passos: 1. Escolha \(u\) e \(dv\): - \(u = x^2\) \(\Rightarrow du = 2x \, dx\) - \(dv = e^x \, dx\) \(\Rightarrow v = e^x\) 2. Aplique a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] 3. Substitua os valores: \[ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int e^x (2x) \, dx \] 4. Agora, precisamos calcular \(\int 2x e^x \, dx\). Usamos integração por partes novamente: - \(u = 2x\) \(\Rightarrow du = 2 \, dx\) - \(dv = e^x \, dx\) \(\Rightarrow v = e^x\) 5. Aplique a fórmula novamente: \[ \int 2x e^x \, dx = 2x e^x - \int e^x (2) \, dx \] \[ = 2x e^x - 2e^x \] 6. Substitua de volta na integral original: \[ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2e^x) \] \[ = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x \] \[ = e^x (x^2 - 2x + 2) + C \] Portanto, a integral \(\int x^2 e^x \, dx\) é: \[ e^x (x^2 - 2x + 2) + C \] A resposta que você forneceu, \(e^x (x^2 - 2) + C\), não está correta. A forma correta é \(e^x (x^2 - 2x + 2) + C\).