Para calcular a integral \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \), sabemos que a integral de \( \frac{1}{x^2 + 1} \) é uma forma padrão que resulta na função arco-tangente. Portanto, temos: \[ \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \tan^{-1}(x) + C \] Agora, analisando as alternativas: A) \( \tan^{-1}(x) + C \) - Correta, pois é a integral que encontramos. B) \( \frac{1}{x} + C \) - Incorreta, não é a forma da integral. C) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C \) - Incorreta, a integral não tem esse fator. D) \( \ln(x) + C \) - Incorreta, não é a forma da integral. Assim, a alternativa correta é: A) \( \tan^{-1}(x) + C \).