Grátis: Problema 52: Calcule a integral \( \int (x^4 + 2x^2 + 1) \, dx \). A) \( \frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 + x + C \) B) \( \frac{1}{5}x^5 + \frac{1...

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Problema 52: Calcule a integral \( \int (x^4 + 2x^2 + 1) \, dx \).

A) \( \frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 + x + C \)
B) \( \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 + x + C \)
C) \( \frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 + 1 + C \)
D) \( \frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 + 1 + C \)

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Para calcular a integral \( \int (x^4 + 2x^2 + 1) \, dx \), vamos integrar cada termo separadamente: 1. A integral de \( x^4 \) é \( \frac{1}{5}x^5 \). 2. A integral de \( 2x^2 \) é \( 2 \cdot \frac{1}{3}x^3 = \frac{2}{3}x^3 \). 3. A integral de \( 1 \) é \( x \). Agora, somando todos os resultados, temos: \[ \int (x^4 + 2x^2 + 1) \, dx = \frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 + x + C \] Analisando as alternativas: A) \( \frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 + x + C \) - Correta. B) \( \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 + x + C \) - Incorreta. C) \( \frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 + 1 + C \) - Incorreta. D) \( \frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 + 1 + C \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é a) \( \frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 + x + C \).

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