Calcule rac{z_1}{z_2} para z_1 = 5 + 5i e z_2 = 1 - i. A) 5 + 5i B) 10 + 10i C) 5 ext{sqrt{2}} D) 5 ext{sqrt{2}}e^{irac{ ext{pi}}{4}}

Para calcular \(\frac{z_1}{z_2}\) onde \(z_1 = 5 + 5i\) e \(z_2 = 1 - i\), vamos seguir os passos: 1. Multiplicar pelo conjugado de \(z_2\): \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{5 + 5i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(5 + 5i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} \] 2. Calcular o denominador: \[ (1 - i)(1 + i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2 \] 3. Calcular o numerador: \[ (5 + 5i)(1 + i) = 5 \cdot 1 + 5 \cdot i + 5i \cdot 1 + 5i \cdot i = 5 + 5i + 5i - 5 = 10i \] 4. Colocar tudo junto: \[ \frac{10i}{2} = 5i \] Agora, precisamos expressar \(5i\) em forma polar. O módulo é \(5\) e o argumento é \(\frac{\pi}{2}\) (pois está no eixo imaginário positivo). Assim, podemos escrever: \[ 5i = 5e^{i\frac{\pi}{2}} \] Nenhuma das alternativas corresponde exatamente a \(5i\), mas se considerarmos a forma polar, a alternativa mais próxima que envolve \(5\) e uma forma exponencial é a alternativa D, que é \(5\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\). No entanto, isso não é correto para o resultado que encontramos. Portanto, parece que não há uma alternativa correta entre as opções dadas. Se precisar de mais ajuda, sinta-se à vontade para perguntar!