Qual é o valor de rac{z + ar{z}}{z - ar{z}} para z = e^{i heta}? A) i B) an heta C) ext{cot} heta D) rac{1}{i}

Para resolver a expressão \(\frac{z + \bar{z}}{z - \bar{z}}\) para \(z = e^{i\theta}\), vamos primeiro encontrar \(\bar{z}\). Sabemos que: \[ \bar{z} = e^{-i\theta} \] Agora, substituindo \(z\) e \(\bar{z}\) na expressão: \[ z + \bar{z} = e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos(\theta) \] \[ z - \bar{z} = e^{i\theta} - e^{-i\theta} = 2i\sin(\theta) \] Agora, substituindo esses resultados na fração: \[ \frac{z + \bar{z}}{z - \bar{z}} = \frac{2\cos(\theta)}{2i\sin(\theta)} = \frac{\cos(\theta)}{i\sin(\theta)} \] Multiplicando o numerador e o denominador por \(-i\): \[ \frac{\cos(\theta)}{i\sin(\theta)} \cdot \frac{-i}{-i} = \frac{-i\cos(\theta)}{-\sin(\theta)} = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} \cdot i = i \cot(\theta) \] Portanto, a expressão se simplifica para \(i \cot(\theta)\). Analisando as alternativas: A) \(i\) - Não é a resposta correta. B) \(\tan \theta\) - Não é a resposta correta. C) \(\text{cot} \theta\) - Não é a resposta correta. D) \(\frac{1}{i}\) - Não é a resposta correta. Nenhuma das alternativas corresponde exatamente ao resultado \(i \cot(\theta)\). Parece que a resposta correta não está entre as opções fornecidas. Você pode verificar se as alternativas estão corretas ou se há um erro na formulação da pergunta.