Qual é a forma exponencial do número complexo z = -2 - 2i? a) 2√2e^{i5π/4} b) 2√2e^{i3π/4} c) 2√2e^{iπ/4} d) 2√2e^{iπ/2}

Para encontrar a forma exponencial do número complexo \( z = -2 - 2i \), precisamos primeiro calcular o módulo e o argumento do número complexo. 1. Módulo: O módulo \( r \) é dado por: \[ r = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] 2. Argumento: O argumento \( \theta \) é dado por: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-2}{-2}\right) = \tan^{-1}(1) \] O ângulo correspondente a \( \tan^{-1}(1) \) é \( \frac{\pi}{4} \), mas como o número complexo está no terceiro quadrante (tanto a parte real quanto a imaginária são negativas), devemos adicionar \( \pi \): \[ \theta = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \] Portanto, a forma exponencial de \( z \) é: \[ z = r e^{i\theta} = 2\sqrt{2} e^{i\frac{5\pi}{4}} \] Assim, a alternativa correta é: a) \( 2\sqrt{2} e^{i\frac{5\pi}{4}} \)