Determine o valor de \(\int_0^1 (1 - x^2)^{3/2} \, dx\). A) \(\frac{2}{3}\) B) \(\frac{1}{2}\) C) \(\frac{\pi}{4}\) D) \(\frac{3}{4}\)

Para resolver a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{3/2} \, dx\), podemos usar a substituição trigonométrica. Vamos considerar a substituição \(x = \sin(\theta)\), o que implica que \(dx = \cos(\theta) \, d\theta\). Os limites de integração mudam: - Quando \(x = 0\), \(\theta = 0\). - Quando \(x = 1\), \(\theta = \frac{\pi}{2}\). Substituindo na integral, temos: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^2(\theta))^{3/2} \cos(\theta) \, d\theta \] Sabemos que \(1 - \sin^2(\theta) = \cos^2(\theta)\), então: \[ (1 - \sin^2(\theta))^{3/2} = (\cos^2(\theta))^{3/2} = \cos^3(\theta) \] Assim, a integral se torna: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3(\theta) \cos(\theta) \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4(\theta) \, d\theta \] Agora, podemos usar a fórmula para a integral de \(\cos^n(\theta)\): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(\theta) \, d\theta = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)} \] Para \(n = 4\): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4(\theta) \, d\theta = \frac{3\pi}{16} \] Porém, para simplificar, podemos também usar a relação: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4(\theta) \, d\theta = \frac{3}{8} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16} \] Por fim, a integral original \(\int_0^1 (1 - x^2)^{3/2} \, dx\) resulta em: \[ \frac{3}{8} \] Assim, a resposta correta é: D) \(\frac{3}{4}\)