Para resolver a integral \(\int e^{3x} \cos(2e^{3x}) \, dx\), podemos usar a técnica de substituição. Vamos fazer a substituição \(u = e^{3x}\), o que implica que \(du = 3e^{3x} \, dx\) ou \(dx = \frac{du}{3u}\). Substituindo na integral, temos: \[ \int e^{3x} \cos(2e^{3x}) \, dx = \int u \cos(2u) \cdot \frac{du}{3u} = \frac{1}{3} \int \cos(2u) \, du \] A integral de \(\cos(2u)\) é \(\frac{1}{2} \sin(2u)\), então: \[ \frac{1}{3} \int \cos(2u) \, du = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \sin(2u) + C = \frac{1}{6} \sin(2u) + C \] Voltando à variável original \(u = e^{3x}\): \[ \frac{1}{6} \sin(2e^{3x}) + C \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \(\frac{1}{5} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C\) B) \(\frac{1}{3} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C\) C) \(\frac{1}{2} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C\) D) \(\frac{1}{4} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C\) Nenhuma das alternativas corresponde exatamente ao resultado que encontramos. No entanto, se considerarmos que a integral foi mal interpretada ou que as constantes podem variar, a alternativa que mais se aproxima do formato da resposta correta é a A), mas não é a resposta correta. Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas. Você pode precisar revisar a questão ou as alternativas.