22. **Problema 22:** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x}\). a) 0 b) 1 c) 2 d) Não existe

Para resolver o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x}\), podemos usar a regra de L'Hôpital, já que a forma inicial é indeterminada \( \frac{0}{0} \). 1. Derivamos o numerador e o denominador: - A derivada de \(\ln(1 + 2x)\) é \(\frac{2}{1 + 2x}\). - A derivada de \(x\) é \(1\). 2. Aplicando a regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 2x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{1 + 2x} \] 3. Agora, substituímos \(x = 0\): \[ \frac{2}{1 + 2(0)} = \frac{2}{1} = 2 \] Portanto, o limite é \(2\). A alternativa correta é: c) 2.