Para resolver a integral \(\int_0^1 x^3 (1 - x)^3 \, dx\), podemos usar a fórmula da integral beta, que é dada por: \[ B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1} (1-x)^{q-1} \, dx = \frac{\Gamma(p) \Gamma(q)}{\Gamma(p+q)} \] Neste caso, temos \(p = 4\) e \(q = 4\) (porque \(x^3\) é \(x^{4-1}\) e \((1-x)^3\) é \((1-x)^{4-1}\)). Assim, a integral se torna: \[ \int_0^1 x^3 (1 - x)^3 \, dx = B(4, 4) = \frac{\Gamma(4) \Gamma(4)}{\Gamma(8)} \] Sabemos que \(\Gamma(n) = (n-1)!\), então: \[ \Gamma(4) = 3! = 6 \] \[ \Gamma(8) = 7! = 5040 \] Portanto: \[ B(4, 4) = \frac{6 \cdot 6}{5040} = \frac{36}{5040} = \frac{1}{140} \] No entanto, parece que houve um erro na simplificação. Vamos calcular diretamente a integral: \[ \int_0^1 x^3 (1 - x)^3 \, dx = \int_0^1 (x^3 - 3x^4 + 3x^5 - x^6) \, dx \] Calculando cada termo: \[ \int_0^1 x^3 \, dx = \frac{1}{4}, \quad \int_0^1 x^4 \, dx = \frac{1}{5}, \quad \int_0^1 x^5 \, dx = \frac{1}{6}, \quad \int_0^1 x^6 \, dx = \frac{1}{7} \] Substituindo: \[ \int_0^1 x^3 (1 - x)^3 \, dx = \frac{1}{4} - 3 \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \] Calculando: \[ = \frac{1}{4} - \frac{3}{5} + \frac{1}{2} - \frac{1}{7} \] Colocando tudo sobre um denominador comum (140): \[ = \frac{35}{140} - \frac{84}{140} + \frac{70}{140} - \frac{20}{140} = \frac{35 - 84 + 70 - 20}{140} = \frac{1}{140} \] Parece que houve um erro na análise das alternativas. Nenhuma das opções apresentadas corresponde ao resultado correto. Por favor, verifique as alternativas novamente.