29. **Problema 29:** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2}\). a) 0 b) -\(\frac{1}{2}\) c) 1 d) Não existe

Para resolver o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2}\), podemos usar a série de Taylor para \(\cos(x)\) em torno de \(x = 0\): \[ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4) \] Substituindo na expressão do limite, temos: \[ \cos(x) - 1 = -\frac{x^2}{2} + O(x^4) \] Assim, a expressão do limite se torna: \[ \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2} + O(x^4)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left(-\frac{1}{2} + \frac{O(x^4)}{x^2}\right) \] Como \(O(x^4)/x^2\) tende a 0 quando \(x\) tende a 0, o limite se simplifica para: \[ -\frac{1}{2} \] Portanto, a resposta correta é: b) -\(\frac{1}{2}\).