Sejam π1 o plano que passa pelos pontos A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 2), C = (2, 1, 3) e π2 o plano que passa pelos pontos P = (0, 0, 1) e Q = (1, 0, 0) e é paralelo ao vetor −→v = (1, 2, 1). Ache o ângulo entre π1 e π2.

Question

Sejam π1 o plano que passa pelos pontos A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 2), C = (2, 1, 3) e π2 o plano que passa pelos pontos P = (0, 0, 1) e Q = (1, 0, ...

Ed · Answer

Para encontrar o ângulo entre os planos π1 e π2, precisamos primeiro determinar os vetores normais de cada plano.

1. **Encontrando o vetor normal de π1**:
   - Os pontos A, B e C são dados. Vamos calcular os vetores AB e AC:
     - $ \vec{AB} = B - A = (1, 0, 2) - (1, 1, 1) = (0, -1, 1) $
     - $ \vec{AC} = C - A = (2, 1, 3) - (1, 1, 1) = (1, 0, 2) $
   - O vetor normal $ \vec{n_1} $ do plano π1 pode ser encontrado pelo produto vetorial $ \vec{AB} \times \vec{AC} $:
     $$
     \vec{n_1} = \begin{vmatrix}
     \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
     0 & -1 & 1 \
     1 & 0 & 2
     \end{vmatrix} = \hat{i}((-1)(2) - (1)(0)) - \hat{j}((0)(2) - (1)(1)) + \hat{k}((0)(0) - (-1)(1))
     $$
     $$
     = -2\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k} = (-2, 1, 1)
     $$

2. **Encontrando o vetor normal de π2**:
   - O plano π2 é paralelo ao vetor $ \vec{v} = (1, 2, 1) $. Para encontrar o vetor normal $ \vec{n_2} $, precisamos de um vetor que seja perpendicular a $ \vec{v} $. Um vetor normal pode ser obtido usando o produto vetorial com um vetor que não seja paralelo a $ \vec{v} $. Vamos usar o vetor $ \vec{PQ} = Q - P = (1, 0, 0) - (0, 0, 1) = (1, 0, -1) $:
   $$
   \vec{n_2} = \vec{PQ} \times \vec{v} = \begin{vmatrix}
   \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
   1 & 0 & -1 \
   1 & 2 & 1
   \end{vmatrix} = \hat{i}(0 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) - \hat{j}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + \hat{k}(1 \cdot 2 - 0 \cdot 1)
   $$
   $$
   = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k} = (2, -2, 2)
   $$

3. **Calculando o ângulo entre os planos**:
   - O ângulo $ \theta $ entre os planos é dado pela relação entre os vetores normais:
   $$
   \cos(\theta) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}
   $$
   - Calculando o produto escalar $ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} $:
   $$
   \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (-2)(2) + (1)(-2) + (1)(2) = -4 - 2 + 2 = -4
   $$
   - Calculando as magnitudes:
   $$
   |\vec{n_1}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}
   $$
   $$
   |\vec{n_2}| = \sqrt{(2)^2 + (-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}
   $$
   - Agora substituindo na fórmula do cosseno:
   $$
   \cos(\theta) = \frac{|-4|}{\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{4}{2\sqrt{18}} = \frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2\sqrt{18}}{18} = \frac{\sqrt{18}}{9}
   $$

Assim, o ângulo entre os planos π1 e π2 pode ser encontrado usando a função inversa do cosseno.

Se precisar de mais detalhes ou de um passo específico, é só avisar!

Geometria Analítica

Geometria e Cálculo - UFF 2023.1

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Geometria e Cálculo - UFF 2023.1

Calcule a distância do ponto P0 = (2, 5,−1) à reta que passa pelo ponto A = (1,−1, 2) e é paralela ao vetor −→v = (1, 0, 1).

Encontre o ponto simétrico P ′ do ponto P = (1, 3,−4) em relação ao plano 3x+ y − 2z = 0.

Um plano Π1 é paralelo ao plano Π2 : 2x− 2y + z = −4 e o ponto (2, 2, 2) é equidistante de Π1 e Π2. Determine a equação de Π1.

Mostre que as retas r1 : x = y−1 3 = z − 2 e r2 :{ 2x− y + z = 3 −3x+ y = −4 são paralelas, determine a equação cartesiana do plano que as contém e calcule d(r1, r2).

Mostre que a reta r = {(4t+ 4, 3t+ 1, t+ 1); t ∈ R} é tangente à esfera S : (x− 1)2 + (y+ 3)2 + (z + 1)2 = 3 e encontre o ponto de tangência.

Determine a equação da esfera S que tem raio 3 e é tangente ao plano Π : x+ 2y + 2z = −3 no ponto P = (1, 1,−3).

Encontre a equação da esfera tangente ao plano π1 : x + 2y + 2z = 16 no ponto (2, 3, 4) e ao plano π2 : 2x+ 2y + z = −3 no ponto (−1,−1, 1).

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