Determine a equação da esfera S que tem raio 3 e é tangente ao plano Π : x+ 2y + 2z = −3 no ponto P = (1, 1,−3).

Para determinar a equação da esfera \( S \) que tem raio 3 e é tangente ao plano \( \Pi: x + 2y + 2z = -3 \) no ponto \( P = (1, 1, -3) \), siga os passos abaixo: 1. Identifique o centro da esfera: Como a esfera é tangente ao plano no ponto \( P \), o centro da esfera deve estar a uma distância igual ao raio (3) do ponto \( P \) e também deve estar na direção normal ao plano. 2. Encontre o vetor normal do plano: O vetor normal do plano \( \Pi \) é dado pelos coeficientes de \( x, y, z \) na equação do plano, que é \( \vec{n} = (1, 2, 2) \). 3. Normalize o vetor normal: O vetor normal deve ser normalizado para encontrar a direção correta. A norma de \( \vec{n} \) é: \[ ||\vec{n}|| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3. \] O vetor normal unitário é: \[ \hat{n} = \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right). \] 4. Calcule o centro da esfera: O centro \( C \) da esfera pode ser encontrado movendo-se 3 unidades na direção do vetor normal a partir do ponto \( P \): \[ C = P + 3 \cdot \hat{n} = (1, 1, -3) + 3 \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right) = (1, 1, -3) + (1, 2, 2) = (2, 3, -1). \] 5. Escreva a equação da esfera: A equação da esfera com centro \( C(a, b, c) \) e raio \( r \) é dada por: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2. \] Substituindo \( C(2, 3, -1) \) e \( r = 3 \): \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = 3^2. \] Portanto, a equação da esfera é: \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = 9. \] Essa é a equação da esfera \( S \).