Um plano Π1 é paralelo ao plano Π2 : 2x− 2y + z = −4 e o ponto (2, 2, 2) é equidistante de Π1 e Π2. Determine a equação de Π1.

Para determinar a equação do plano Π1, que é paralelo ao plano Π2 dado pela equação \(2x - 2y + z = -4\), precisamos lembrar que planos paralelos têm os mesmos coeficientes para \(x\), \(y\) e \(z\). A equação geral de um plano pode ser escrita na forma \(Ax + By + Cz + D = 0\). Assim, a equação do plano Π2 pode ser reescrita como: \[2x - 2y + z + 4 = 0\] Portanto, a equação do plano Π1 terá a forma: \[2x - 2y + z + D = 0\] Agora, como o ponto \((2, 2, 2)\) é equidistante de Π1 e Π2, precisamos calcular a distância desse ponto até o plano Π2 e igualar essa distância à distância até o plano Π1. A distância \(d\) de um ponto \((x_0, y_0, z_0)\) até um plano \(Ax + By + Cz + D = 0\) é dada pela fórmula: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Para o plano Π2: \[ d_2 = \frac{|2(2) - 2(2) + 2 + 4|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|4 - 4 + 2 + 4|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|6|}{3} = 2 \] Agora, para o plano Π1, a distância deve ser a mesma: \[ d_1 = \frac{|2(2) - 2(2) + 2 + D|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|6 + D|}{3} \] Igualando as distâncias: \[ \frac{|6 + D|}{3} = 2 \] Multiplicando ambos os lados por 3: \[ |6 + D| = 6 \] Isso nos dá duas equações: 1. \(6 + D = 6 \Rightarrow D = 0\) 2. \(6 + D = -6 \Rightarrow D = -12\) Assim, temos duas possíveis equações para o plano Π1: 1. \(2x - 2y + z = 0\) 2. \(2x - 2y + z = -12\) Portanto, as equações do plano Π1 podem ser \(2x - 2y + z = 0\) ou \(2x - 2y + z = -12\).