Calcule a distância do ponto P0 = (2, 5,−1) à reta que passa pelo ponto A = (1,−1, 2) e é paralela ao vetor −→v = (1, 0, 1).

Para calcular a distância do ponto \( P_0 = (2, 5, -1) \) à reta que passa pelo ponto \( A = (1, -1, 2) \) e é paralela ao vetor \( \vec{v} = (1, 0, 1) \), podemos usar a seguinte fórmula: 1. Encontrar o vetor \( \vec{AP_0} \), que vai do ponto \( A \) ao ponto \( P_0 \): \[ \vec{AP_0} = P_0 - A = (2 - 1, 5 - (-1), -1 - 2) = (1, 6, -3) \] 2. Calcular o produto vetorial entre \( \vec{AP_0} \) e \( \vec{v} \): \[ \vec{AP_0} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 6 & -3 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ = \hat{i}(6 \cdot 1 - (-3) \cdot 0) - \hat{j}(1 \cdot 1 - (-3) \cdot 1) + \hat{k}(1 \cdot 0 - 6 \cdot 1) \] \[ = \hat{i}(6) - \hat{j}(1 + 3) - \hat{k}(6) \] \[ = (6, -4, -6) \] 3. Calcular a norma do produto vetorial: \[ ||\vec{AP_0} \times \vec{v}|| = \sqrt{6^2 + (-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 16 + 36} = \sqrt{88} = 2\sqrt{22} \] 4. Calcular a norma do vetor \( \vec{v} \): \[ ||\vec{v}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2} \] 5. Calcular a distância \( d \) da reta ao ponto \( P_0 \): \[ d = \frac{||\vec{AP_0} \times \vec{v}||}{||\vec{v}||} = \frac{2\sqrt{22}}{\sqrt{2}} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11} \] Portanto, a distância do ponto \( P_0 \) à reta é \( 2\sqrt{11} \).