Para calcular a intensidade total da luz emitida no volume do cilindro, precisamos usar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. A função de intensidade luminosa é dada por \( I(r, \theta, z) = 3r^2 \). As coordenadas cilíndricas são definidas como: - \( r \): distância do eixo central (variando de 1 a 2) - \( \theta \): ângulo (variando de 0 a \( 2\pi \)) - \( z \): altura (variando de 0 a 5) A integral tripla para calcular a intensidade total \( I_{total} \) é: \[ I_{total} = \int_0^{2\pi} \int_1^2 \int_0^5 I(r, \theta, z) \cdot r \, dz \, dr \, d\theta \] Substituindo \( I(r, \theta, z) \): \[ I_{total} = \int_0^{2\pi} \int_1^2 \int_0^5 3r^2 \cdot r \, dz \, dr \, d\theta \] Simplificando: \[ I_{total} = \int_0^{2\pi} \int_1^2 3r^3 \left( \int_0^5 dz \right) dr \, d\theta \] A integral em \( z \) é: \[ \int_0^5 dz = 5 \] Portanto, temos: \[ I_{total} = \int_0^{2\pi} \int_1^2 15r^3 \, dr \, d\theta \] Agora, calculamos a integral em \( r \): \[ \int_1^2 15r^3 \, dr = 15 \left[ \frac{r^4}{4} \right]_1^2 = 15 \left( \frac{16}{4} - \frac{1}{4} \right) = 15 \left( 4 - \frac{1}{4} \right) = 15 \left( \frac{16 - 1}{4} \right) = 15 \cdot \frac{15}{4} = \frac{225}{4} \] Agora, integramos em \( \theta \): \[ I_{total} = \int_0^{2\pi} \frac{225}{4} \, d\theta = \frac{225}{4} \cdot 2\pi = \frac{225\pi}{2} \] Por fim, precisamos multiplicar por 2 para considerar a altura do cilindro: \[ I_{total} = \frac{225\pi}{2} \cdot 5 = \frac{1125\pi}{2} \] No entanto, parece que houve um erro na simplificação. Vamos revisar: A integral correta deve ser: \[ I_{total} = 15 \cdot 5 \cdot \int_0^{2\pi} d\theta = 75 \cdot 2\pi = 150\pi \] Portanto, a intensidade total da luz emitida no volume do cilindro é: 150π A alternativa correta é 150π.