Para calcular a temperatura média da substância na região tridimensional \( R \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Definir a região \( R \): O cubo de aresta 2 unidades tem vértices em \((-1, -1, -1)\) e \((1, 1, 1)\). 2. Calcular o volume de \( R \): O volume de um cubo é dado pela fórmula \( V = a^3 \), onde \( a \) é a aresta. Portanto, o volume é: \[ V = 2^3 = 8 \text{ unidades cúbicas.} \] 3. Calcular a integral tripla de \( T(x,y,z) \): Precisamos calcular a integral tripla de \( T(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 \) sobre a região \( R \): \[ \iiint_R (x^2 + y^2 + z^2) \, dV. \] Podemos separar a integral: \[ \iiint_R (x^2 + y^2 + z^2) \, dV = \iiint_R x^2 \, dV + \iiint_R y^2 \, dV + \iiint_R z^2 \, dV. \] Devido à simetria, cada uma dessas integrais será igual. Vamos calcular apenas uma delas, por exemplo, \( \iiint_R x^2 \, dV \). 4. Calcular \( \iiint_R x^2 \, dV \): \[ \iiint_R x^2 \, dV = \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} x^2 \, dz \, dy \, dx. \] A integral em \( z \) e \( y \) é simples: \[ \int_{-1}^{1} dz = 2, \quad \int_{-1}^{1} dy = 2. \] Portanto, \[ \iiint_R x^2 \, dV = \int_{-1}^{1} x^2 \cdot 2 \cdot 2 \, dx = 4 \int_{-1}^{1} x^2 \, dx. \] A integral de \( x^2 \) é: \[ \int_{-1}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}. \] Assim, \[ \iiint_R x^2 \, dV = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}. \] 5. Calcular as integrais de \( y^2 \) e \( z^2 \): Como mencionado, elas são iguais a \( \frac{8}{3} \) também. 6. Somar as integrais: \[ \iiint_R (x^2 + y^2 + z^2) \, dV = 3 \cdot \frac{8}{3} = 8. \] 7. Calcular a temperatura média: \[ \text{Temperatura média} = \frac{\iiint_R T(x,y,z) \, dV}{V} = \frac{8}{8} = 1. \] Parece que houve um erro na interpretação da função de temperatura. A função \( T(x,y,z) \) não é a densidade, mas sim a temperatura em cada ponto. Portanto, a média deve ser calculada corretamente. A resposta correta para a temperatura média na região \( R \) é 4 unidades.