Para calcular o volume da região \( R \) delimitada pelos planos e pela superfície dada, precisamos integrar a função que representa a altura da piscina, que é \( z = 8 - x^2 - y^2 \), sobre a região projetada no plano \( xy \). 1. Identificar a região no plano \( xy \): A condição \( x + y = 4 \) e os planos \( x = 0 \) e \( y = 0 \) delimitam um triângulo no primeiro quadrante com vértices em \( (0,0) \), \( (4,0) \) e \( (0,4) \). 2. Configurar a integral: O volume \( V \) pode ser calculado pela integral dupla: \[ V = \iint_R (8 - x^2 - y^2) \, dA \] onde \( R \) é a região triangular. 3. Limites de integração: Para a região triangular, podemos usar: - \( x \) varia de \( 0 \) a \( 4 \) - Para cada \( x \), \( y \) varia de \( 0 \) a \( 4 - x \) 4. Calcular a integral: \[ V = \int_0^4 \int_0^{4-x} (8 - x^2 - y^2) \, dy \, dx \] Primeiro, integramos em relação a \( y \): \[ \int_0^{4-x} (8 - x^2 - y^2) \, dy = \left[ 8y - x^2y - \frac{y^3}{3} \right]_0^{4-x} \] Substituindo os limites: \[ = 8(4-x) - x^2(4-x) - \frac{(4-x)^3}{3} \] Agora, simplificamos e integramos em relação a \( x \). 5. Resultado final: Após realizar as integrais e simplificações, você encontrará que o volume da piscina é \( \frac{64}{3} \) unidades cúbicas. Portanto, a alternativa correta é 64/3 unidades cúbicas.