calcule o valor de A para que os vetores u(2,2,-1) e w(a,2,3) sejam coplanares

Para que os vetores \( \mathbf{u} = (2, 2, -1) \) e \( \mathbf{w} = (a, 2, 3) \) sejam coplanares, o determinante da matriz formada por esses vetores e um vetor adicional (por exemplo, o vetor \( \mathbf{v} = (1, 1, 1) \)) deve ser igual a zero. A matriz é: \[ \begin{vmatrix} 2 & 2 & -1 \\ a & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ D = 2 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} a & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} a & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \] Calculando os determinantes menores: 1. \( \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 1 = 2 - 3 = -1 \) 2. \( \begin{vmatrix} a & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = a \cdot 1 - 3 \cdot 1 = a - 3 \) 3. \( \begin{vmatrix} a & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = a \cdot 1 - 2 \cdot 1 = a - 2 \) Substituindo os valores: \[ D = 2(-1) - 2(a - 3) - 1(a - 2) \] Simplificando: \[ D = -2 - 2a + 6 - a + 2 \] \[ D = 6 - 3a \] Para que os vetores sejam coplanares, devemos ter \( D = 0 \): \[ 6 - 3a = 0 \] Resolvendo para \( a \): \[ 3a = 6 \implies a = 2 \] Portanto, o valor de \( A \) para que os vetores \( \mathbf{u} \) e \( \mathbf{w} \) sejam coplanares é \( a = 2 \).