Calcule o valor de x para que os vetores U(2,2,-1), V (3,4,2) e W (x, 2, 3) sejam coplanares

Para que os vetores \( U(2,2,-1) \), \( V(3,4,2) \) e \( W(x, 2, 3) \) sejam coplanares, o determinante da matriz formada por esses vetores deve ser igual a zero. A matriz é: \[ \begin{vmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & 2 \\ x & 2 & 3 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ D = 2 \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ x & 3 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ x & 2 \end{vmatrix} \] Calculando os determinantes 2x2: 1. \( \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (4 \cdot 3) - (2 \cdot 2) = 12 - 4 = 8 \) 2. \( \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ x & 3 \end{vmatrix} = (3 \cdot 3) - (2 \cdot x) = 9 - 2x \) 3. \( \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ x & 2 \end{vmatrix} = (3 \cdot 2) - (4 \cdot x) = 6 - 4x \) Substituindo na expressão do determinante: \[ D = 2(8) - 2(9 - 2x) - (6 - 4x) \] Simplificando: \[ D = 16 - 18 + 4x - 6 + 4x = 8x - 8 \] Para que os vetores sejam coplanares, \( D = 0 \): \[ 8x - 8 = 0 \] Resolvendo para \( x \): \[ 8x = 8 \\ x = 1 \] Portanto, o valor de \( x \) para que os vetores sejam coplanares é \( x = 1 \).