Calcule o valor de a para que a função f, definida por: (x = 1) f(x)= (x ^ 3 - 1)/(x ^ 2 - 1) ,se x ne1\\ a,se x=1

Para encontrar o valor de \( a \) que torna a função \( f(x) \) contínua em \( x = 1 \), precisamos garantir que o limite de \( f(x) \) quando \( x \) se aproxima de 1 seja igual a \( f(1) = a \). A função é dada por: \[ f(x) = \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} \quad \text{se } x \neq 1 \] Primeiro, vamos simplificar a expressão \( \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} \): 1. Fatoramos \( x^3 - 1 \) e \( x^2 - 1 \): - \( x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \) - \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \) 2. Assim, temos: \[ f(x) = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} \quad \text{para } x \neq 1 \] 3. Cancelando \( (x - 1) \): \[ f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} \quad \text{para } x \neq 1 \] Agora, vamos calcular o limite quando \( x \) se aproxima de 1: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} = \frac{1^2 + 1 + 1}{1 + 1} = \frac{3}{2} \] Para que a função seja contínua em \( x = 1 \), devemos ter: \[ a = \lim_{x \to 1} f(x) = \frac{3}{2} \] Portanto, o valor de \( a \) é \( \frac{3}{2} \).