Assinale o valor de a para que a função definida por f ( x ) = { x ⋅ sen 1 x , se x ≠ 0 a , se x = 0

Para determinar o valor de \( a \) que torna a função \( f(x) \) contínua em \( x = 0 \), precisamos garantir que o limite de \( f(x) \) quando \( x \) se aproxima de 0 seja igual a \( f(0) \). A função é definida como: \[ f(x) = \begin{cases} x \cdot \sen\left(\frac{1}{x}\right) & \text{se } x \neq 0 \\ a & \text{se } x = 0 \end{cases} \] Precisamos calcular o limite: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x \cdot \sen\left(\frac{1}{x}\right) \] Sabemos que \( \sen\left(\frac{1}{x}\right) \) oscila entre -1 e 1. Portanto, podemos usar a propriedade do limite: \[ - |x| \leq x \cdot \sen\left(\frac{1}{x}\right) \leq |x| \] Assim, ao aplicar o Teorema do Confronto: \[ \lim_{x \to 0} -|x| = 0 \quad \text{e} \quad \lim_{x \to 0} |x| = 0 \] Portanto: \[ \lim_{x \to 0} x \cdot \sen\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \] Para que a função seja contínua em \( x = 0 \), devemos ter: \[ f(0) = a = 0 \] Assim, o valor de \( a \) que torna a função contínua em \( x = 0 \) é \( a = 0 \).