Para responder a essa pergunta, vamos analisar os vetores \( \mathbf{v_a} = (6, 2, 3) \) e \( \mathbf{v_b} = (4, 3, 0) \) utilizando o produto escalar. ### a) Os vetores são ortogonais? Os vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for igual a zero. O produto escalar é calculado da seguinte forma: \[ \mathbf{v_a} \cdot \mathbf{v_b} = (6 \cdot 4) + (2 \cdot 3) + (3 \cdot 0) = 24 + 6 + 0 = 30 \] Como o produto escalar é 30 (diferente de zero), os vetores não são ortogonais. ### b) Ângulo entre os vetores Para encontrar o ângulo \( \theta \) entre os vetores, usamos a fórmula: \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{v_a} \cdot \mathbf{v_b}}{||\mathbf{v_a}|| \cdot ||\mathbf{v_b}||} \] Primeiro, calculamos as normas dos vetores: \[ ||\mathbf{v_a}|| = \sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7 \] \[ ||\mathbf{v_b}|| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5 \] Agora, substituímos na fórmula do cosseno: \[ \cos(\theta) = \frac{30}{7 \cdot 5} = \frac{30}{35} = \frac{6}{7} \] Para encontrar o ângulo \( \theta \), usamos a função inversa do cosseno: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{6}{7}\right) \] Calculando isso, obtemos um ângulo de aproximadamente 45,57 graus. ### Conclusão - a) Os vetores não são ortogonais. - b) O ângulo entre os vetores é aproximadamente 45,57 graus, o que indica que os drones estão voando em rotas relativamente próximas, mas não exatamente na mesma direção.