Para provar que o ponto médio de \( BC \) é o centro do incírculo do triângulo \( ABC \) onde \( AB = AC \), siga os seguintes passos: 1. Identifique os elementos do triângulo: Como \( AB = AC \), o triângulo \( ABC \) é isósceles. O ponto médio de \( BC \) será chamado de \( M \). 2. Circunferência tangente: A circunferência mencionada é tangente ao circuncírculo e aos lados \( AB \) e \( AC \) nos pontos \( P \) e \( Q \), respectivamente. 3. Propriedades do incírculo: O incírculo de um triângulo é tangente a todos os lados do triângulo. O centro do incírculo (denotado como \( I \)) é o ponto onde as bissetrizes dos ângulos se encontram. 4. Bissetrizes e simetria: Como \( AB = AC \), a bissetriz do ângulo \( A \) também é a altura do triângulo que cai sobre \( BC \). Isso significa que a bissetriz divide o ângulo \( A \) em dois ângulos iguais e também divide o lado oposto \( BC \) em duas partes iguais. 5. Conclusão: Portanto, o ponto \( M \), que é o ponto médio de \( BC \), coincide com o centro do incírculo \( I \) do triângulo \( ABC \), já que \( I \) está localizado na interseção das bissetrizes e, devido à simetria do triângulo isósceles, \( M \) é o ponto onde a altura e a bissetriz se encontram. Assim, provamos que o ponto médio de \( BC \) é o centro do incírculo do triângulo \( ABC \).