Para resolver a expressão dada, precisamos aplicar as definições de tangente (tg) e cotangente (cotg) e calcular os valores para \( x = \frac{\pi}{6} \). 1. Calcular tg e cotg para \( x = \frac{\pi}{6} \): - \( \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) - \( \cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \) 2. Calcular tg e cotg para \( 2x = \frac{\pi}{3} \): - \( \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \) - \( \cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) 3. Calcular tg e cotg para \( 12x = 2\pi \): - \( \tan(2\pi) = 0 \) - \( \cot(2\pi) \) é indefinido, mas não precisamos dele aqui, pois a tangente no denominador é zero. Agora, substituindo os valores na expressão: \[ y = \frac{3 \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) + 2 \cot\left(\frac{\pi}{6}\right) - \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\tan\left(2\pi\right) + \cot\left(\frac{\pi}{3}\right)} \] Substituindo os valores: \[ y = \frac{3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + 2 \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3}}{0 + \frac{1}{\sqrt{3}}} \] Simplificando: \[ y = \frac{\frac{3}{\sqrt{3}} + 2\sqrt{3} - \sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} \] \[ y = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6 \] Portanto, o valor da expressão é 6. A alternativa correta é: Opção C 6.