No exercício 10 de PVI estou em dúvida na solução parcial, estou utilizando y(t)= (At^2+bt).e^2t mais esta dando errado, não estou conseguindo montar.

Nesse exercício vamos estudar equação diferencial não homogênea.

Primeiro temos que obter a solução da parte homogênea, isto é:

$$y''-2y'-3y=0$$

Para ela a forma mais fácil de resolver é usando polinômio característico:

$$r^2-2r-3=0\Rightarrow r=\dfrac{2\pm\sqrt{2^2+4\cdot1\cdot3}}{2}=1\pm2$$

Logo a solução da parte homogênea é:

$$y_H(t)=Ae^{3t}+Be^{-t}$$

Para a solução particular, vamos usar o método dos polinômios a determinar:

$$y''-2y'-3y=3te^{2t}$$

Como a função do lado direito é um produto de um polinômio (de grau 1) por uma função exponencial, devemos usar essa solução como ansatz:

$$y_P(t)=(Ct+D)e^{Et}$$

$$y'_P(t)=Ce^{Et}+(Ct+D)Ee^{Et}=(ECt+ED+C)e^{Et}$$

$$y''_P(t)=ECe^{Et}+(ECt+ED+C)Ee^{Et}=(E^2Ct+E^2D+2EC)e^{Et}$$

Substituindo na equação diferencial, temos:

$$y''-2y'-3y=3te^{2t}$$

$$(E^2Ct+E^2D+2EC)e^{Et}-2(ECt+ED+C)e^{Et}-3(Ct+D)e^{Et}=3te^{2t}$$

Agrupando os termos, temos:

$$(E^2-2E-3)Cte^{Et}+(E^2D+2EC-2ED-2C-3D)e^{Et}=3te^{2t}+0e^{2t}$$

Lembrando que essa deve ser válida para qualquer valor de $t$, temos:

$$\begin{cases}e^{Et}=e^{2t}&\Rightarrow E=2\\(E^2-2E-3)C=3&\Rightarrow C=-1\\E^2D+2EC-2ED-2C-3D=0&\Rightarrow D=-\dfrac23\end{cases}$$

Logo temos a seguinte solução particular:

$$y_P(t)=-\left(t+\dfrac23\right)e^{2t}$$

Logo a solução geral é:

$$y(t)=y_H(t)+y_P(t)=Ae^{3t}+Be^{-t}-\left(t+\dfrac23\right)e^{2t}$$

Mas nos são dadas as condições iniciais:

$$\begin{cases}y(0)=1\\y'(0)=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}Ae^0+Be^0-\left(0+\dfrac23\right)e^0=1\\3Ae^0-Be^0-e^0-2\left(0+\dfrac23\right)e^0=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}A+B=\dfrac53\\\\3A-B=\dfrac73\end{cases}$$

Logo:

$$(A,B)=\left(1,\dfrac23\right)$$

O que nos leva a:

$$\boxed{y(t)=e^{3t}-\left(t+\dfrac23\right)e^{2t}+\dfrac23e^{-t}}$$

Nesse exercício vamos estudar equação diferencial não homogênea.

Primeiro temos que obter a solução da parte homogênea, isto é:

$$y''-2y'-3y=0$$

Para ela a forma mais fácil de resolver é usando polinômio característico:

$$r^2-2r-3=0\Rightarrow r=\dfrac{2\pm\sqrt{2^2+4\cdot1\cdot3}}{2}=1\pm2$$

Logo a solução da parte homogênea é:

$$y_H(t)=Ae^{3t}+Be^{-t}$$

Para a solução particular, vamos usar o método dos polinômios a determinar:

$$y''-2y'-3y=3te^{2t}$$

Como a função do lado direito é um produto de um polinômio (de grau 1) por uma função exponencial, devemos usar essa solução como ansatz:

$$y_P(t)=(Ct+D)e^{Et}$$

$$y'_P(t)=Ce^{Et}+(Ct+D)Ee^{Et}=(ECt+ED+C)e^{Et}$$

$$y''_P(t)=ECe^{Et}+(ECt+ED+C)Ee^{Et}=(E^2Ct+E^2D+2EC)e^{Et}$$

Substituindo na equação diferencial, temos:

$$y''-2y'-3y=3te^{2t}$$

$$(E^2Ct+E^2D+2EC)e^{Et}-2(ECt+ED+C)e^{Et}-3(Ct+D)e^{Et}=3te^{2t}$$

Agrupando os termos, temos:

$$(E^2-2E-3)Cte^{Et}+(E^2D+2EC-2ED-2C-3D)e^{Et}=3te^{2t}+0e^{2t}$$

Lembrando que essa deve ser válida para qualquer valor de $t$, temos:

$$\begin{cases}e^{Et}=e^{2t}&\Rightarrow E=2\\(E^2-2E-3)C=3&\Rightarrow C=-1\\E^2D+2EC-2ED-2C-3D=0&\Rightarrow D=-\dfrac23\end{cases}$$

Logo temos a seguinte solução particular:

$$y_P(t)=-\left(t+\dfrac23\right)e^{2t}$$

Logo a solução geral é:

$$y(t)=y_H(t)+y_P(t)=Ae^{3t}+Be^{-t}-\left(t+\dfrac23\right)e^{2t}$$

Mas nos são dadas as condições iniciais:

$$\begin{cases}y(0)=1\\y'(0)=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}Ae^0+Be^0-\left(0+\dfrac23\right)e^0=1\\3Ae^0-Be^0-e^0-2\left(0+\dfrac23\right)e^0=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}A+B=\dfrac53\\\\3A-B=\dfrac73\end{cases}$$

Logo:

$$(A,B)=\left(1,\dfrac23\right)$$

O que nos leva a:

$$\boxed{y(t)=e^{3t}-\left(t+\dfrac23\right)e^{2t}+\dfrac23e^{-t}}$$

Nesse exercício vamos estudar equação diferencial não homogênea.

Primeiro temos que obter a solução da parte homogênea, isto é:

$$y''-2y'-3y=0$$

Para ela a forma mais fácil de resolver é usando polinômio característico:

$$r^2-2r-3=0\Rightarrow r=\dfrac{2\pm\sqrt{2^2+4\cdot1\cdot3}}{2}=1\pm2$$

Logo a solução da parte homogênea é:

$$y_H(t)=Ae^{3t}+Be^{-t}$$

Para a solução particular, vamos usar o método dos polinômios a determinar:

$$y''-2y'-3y=3te^{2t}$$

Como a função do lado direito é um produto de um polinômio (de grau 1) por uma função exponencial, devemos usar essa solução como ansatz:

$$y_P(t)=(Ct+D)e^{Et}$$

$$y'_P(t)=Ce^{Et}+(Ct+D)Ee^{Et}=(ECt+ED+C)e^{Et}$$

$$y''_P(t)=ECe^{Et}+(ECt+ED+C)Ee^{Et}=(E^2Ct+E^2D+2EC)e^{Et}$$

Substituindo na equação diferencial, temos:

$$y''-2y'-3y=3te^{2t}$$

$$(E^2Ct+E^2D+2EC)e^{Et}-2(ECt+ED+C)e^{Et}-3(Ct+D)e^{Et}=3te^{2t}$$

Agrupando os termos, temos:

$$(E^2-2E-3)Cte^{Et}+(E^2D+2EC-2ED-2C-3D)e^{Et}=3te^{2t}+0e^{2t}$$

Lembrando que essa deve ser válida para qualquer valor de $t$, temos:

$$\begin{cases}e^{Et}=e^{2t}&\Rightarrow E=2\\(E^2-2E-3)C=3&\Rightarrow C=-1\\E^2D+2EC-2ED-2C-3D=0&\Rightarrow D=-\dfrac23\end{cases}$$

Logo temos a seguinte solução particular:

$$y_P(t)=-\left(t+\dfrac23\right)e^{2t}$$

Logo a solução geral é:

$$y(t)=y_H(t)+y_P(t)=Ae^{3t}+Be^{-t}-\left(t+\dfrac23\right)e^{2t}$$

Mas nos são dadas as condições iniciais:

$$\begin{cases}y(0)=1\\y'(0)=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}Ae^0+Be^0-\left(0+\dfrac23\right)e^0=1\\3Ae^0-Be^0-e^0-2\left(0+\dfrac23\right)e^0=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}A+B=\dfrac53\\\\3A-B=\dfrac73\end{cases}$$

Logo:

$$(A,B)=\left(1,\dfrac23\right)$$

O que nos leva a:

$$\boxed{y(t)=e^{3t}-\left(t+\dfrac23\right)e^{2t}+\dfrac23e^{-t}}$$