A equação diferencial y”+5y’+4y=0 tem solução geral y(t)=C1e^-t+C2e^-4t. determine C1 e C2 de modo que a função y(t) QUESTÃO COMPLETA EM BAIXO

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Sabemos que a solução da seguinte equação diferencial:

\[y”+5y’+4y=0\]

É:

\[y(t)=C_1e^{-t} +C_2e^{-4t}\]

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Vamos verificar se a solução está correta, começando por calcular suas derivadas:

\[y(t)=C_1e^{-t} +C_2e^{-4t}\]

\[y'(t)=-C_1e^{-t} -4C_2e^{-4t}\]

\[y''(t)=C_1e^{-t} +16C_2e^{-4t}\]

E agora substituindo no lado esquerdo da equação:

\[y”+5y’+4y=(C_1e^{-t} +16C_2e^{-4t})+5(-C_1e^{-t} -4C_2e^{-4t})+4(C_1e^{-t} +C_2e^{-4t})\]

\[y”+5y’+4y=(C_1-5C_1+4C_1)e^{-t} +(16C_2-20C_2+4C_2e^{-4t}\]

\[y”+5y’+4y=0\]

Verificada a validade da solução, vamos determinar as constantes baseando-nos das condições iniciais. Temos apenas uma condição, então vamos determinar uma relação entre as possíveis constantes e verificar qual a alternativa que se adequa:

\[y'(0)=0\]

Substituindo na derivada já obtida, temos:

\[-C_1e^{-0} -4C_2e^{-4\cdot0}=0\]

\[C_1 +4C_2=0\]

\[C_1=-4C_2\]

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Dentre as alternativas, a única que se adequa à condição obtida é a alternativa B.

\[\boxed{C_1=-4C_2}\]

y'(t) = -C1e^-t - 4C2e^-4t

y'(0) = -(C1 + 4C2) = 0  .:.:.  C1 = -4C2 

Agora basta analisar as alternativas e verificar qual satisfaz esta condição.

RESPOSTA : C1 = 4/3 e C2 = -1/3