conhecendo-se os pontos A=(a,0) e B=(0,a), achar as coordenadas do ponto C, sabendo-se que o triangulo é equilatero

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São nos dado dois vértices de um triângulo equilátero. Queremos determinar o terceiro vértice. Vamos começar por determinar o tamanho do lado desse triângulo a partir da distância entre os pontos dados:

\[d_{AB}=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}\]

\[d_{AB}=\sqrt{(a-0)^2+(0-a)^2}\]

\[d_{AB}=a\sqrt2\]

Para determinar o terceiro vértice \(C=(x,y)\), temos o seguinte sistema de equações:

\[\begin{cases}d_{AC}=a\sqrt2\\d_{BC}=a\sqrt2\end{cases}\]

\[\begin{cases}\sqrt{(x-a)^2+y^2}=a\sqrt2\\\sqrt{x^2+(y-a)^2}=a\sqrt2\end{cases}\]

\[\begin{cases}(x-a)^2+y^2=2a^2\\x^2+(y-a)^2=2a^2\end{cases}\]

\[\begin{cases}x^2-2ax+a^2+y^2=2a^2\\x^2+y^2-2ay+a^2=2a^2\end{cases}\]

\[\begin{cases}x^2-2ax+y^2=a^2\\x^2+y^2-2ay=a^2\end{cases}\]

Subtraindo as equações, temos:

\[2a(x-y)=0\Rightarrow x=y\]

Substituindo na primeira equação, temos:

\[x^2-2ax+x^2=a^2\]

\[2x^2-2ax-a^2=0\]

Por Bhaskara, temos:

\[x=y=\dfrac{2a\pm\sqrt{4a^2+8a^2}}{4}=\dfrac{2a\pm a\sqrt{12}}{4}=\dfrac{2a\pm 2a\sqrt{3}}{4}\]

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Finalmente:

\[\boxed{C=\left(\dfrac{a\pm a\sqrt3}{2};\dfrac{a\pm a\sqrt3}{2}\right)}\]