AOL 2 CÁLCULO INTEGRAL

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Avaliação On-Line 2 (AOL 2) - 
Questionário 
10/10 
Conteúdo do exercício 
Conteúdo do exercício 
1. Pergunta 1 
/1 
Intuitivamente, ao imaginar uma divisão por um número muito pequeno, podemos 
constatar que, quanto menor o denominador, maior o resultado dessa divisão, pois 
menor seria o número de parcelas dessa divisão. No Ensino Superior, nas disciplinas 
de Cálculo, estudamos isso através dos limites, onde aproximamos nossas funções para 
um ponto em que x tende a algum valor (nesse caso, a zero). No entanto, algumas 
funções apresentam indeterminações ao realizar o cálculo do limite, e para fugir 
dessas indeterminações adotamos a regra de L’Hospital, que utiliza a derivada das 
funções para o cálculo do limite desconhecido. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre derivadas e a regra de 
L’Hospital, analise as afirmativas a seguir: 
I. O limite de x/e^x, com x tendendo a zero, é igual a 1. 
II. O limite de (x+sen(x))/(x²-sen(x)), com x tendendo a zero, é igual a −2. 
III. O limite e^(x)/x², quando x tende a mais infinito, é igual a mais infinito. 
IV. A regra de L’Hospital é aplicável somente nos casos em que existe uma 
indeterminação, não podendo ser aplicada a qualquer caso, pois poderia gerar 
respostas incorretas. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
II, III e IV. 
Resposta correta 
2. 
I, II, III e IV. 
3. 
II, e IV. 
4. 
III e IV. 
5. 
I, II, III. 
2. Pergunta 2 
/1 
O estudo das derivadas permitiu a compreensão de como se dá a inclinação de uma 
reta tangente a uma curva em um determinado ponto e qual a taxa de variação 
instantânea referente a ele. Somado a isso, em algumas situações é preferível que, ao 
se saber a derivada de uma função desconhecida, realize-se a operação inversa a ela, 
para se descobrir a função que a gerou, chamada função primitiva ou antiderivada. 
Considerando essas informações e tendo em vista o conteúdo estudado sobre integrais 
indefinidas e antiderivadas, analise as afirmativas a seguir. 
I. Se uma função F’(x) = f(x), diz-se que F(x) é uma antiderivada de f(x). 
II. Tomando determinada função, pressupõe-se que esta função tem uma antiderivada. 
III. é uma representação notacional de uma integral indefinida. 
IV. é uma propriedade de uma integral definida. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
I e III. 
Resposta correta 
2. 
I, III e IV. 
3. 
I e IV. 
4. 
II, III e IV. 
5. 
II e III. 
3. Pergunta 3 
/1 
Do círculo trigonométrico de raio 1 extrai-se muitas relações importantes para a 
matemática, sem usar uma ideia mais rebuscada, como a de limite. Porém, também é 
possível extrair novas relações quando se alia o estudo de limites à trigonometria. Um 
exemplo disso é o limite fundamental trigonométrico. 
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre o tópico, pode-se afirmar 
que o limite fundamental trigonométrico é relevante para o cálculo porque: 
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1. 
torna dispensável a utilização do círculo trigonométrico. 
2. 
as relações trigonométricas deixam de valer quando se aplica o limite. 
3. 
torna dispensável a utilização de qualquer outro limite. 
4. 
relaciona a tg(x) com a cossec (x), de tal forma que sua razão valha 1. 
5. 
relaciona um sen(x) com um arco x, obtendo um valor 1 da razão entre 
esses dois elementos. 
Resposta correta 
4. Pergunta 4 
/1 
A regra de L’Hospital é uma ferramenta matemática muito importante para a resolução 
de inúmeros limites. Ela permite a eliminação de certos tipos de indeterminações, 
apenas derivando o numerador e o denominador de uma função que é escrita em 
forma de razão. 
Considerando as funções f(x) = sen(5x), g(x) = tg(x), h(x) = x, i(x) = 2x², e com base nos 
seus conhecimentos acerca da regra do limite fundamental trigonométrico e da regra 
de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F 
para a(s) falsa(s). 
I. ( ) O limite de f(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 5. 
II. ( ) O limite de i(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 2. 
III. ( ) O limite de g(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 1. 
IV. ( ) O limite de h(x)/i(x), quando x tende a mais infinito, é igual a 0. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
V, F, F, V. 
2. 
F, V, F, F. 
3. 
V, F, V, V. 
Resposta correta 
4. 
V, F, V, F. 
5. 
F, F, V, V. 
5. Pergunta 5 
/1 
As funções circulares são aquelas definidas a partir do círculo unitário, e podem ser 
categorizadas entre dois grupos, aquelas que são diretas e as que são inversas. 
Considerando essas informações e tendo em vista os conhecimentos acerca das 
funções circulares, analise as afirmativas a seguir: 
I. Sen(x) e Log(x) são funções circulares. 
II. As funções trigonométricas são circulares. 
III. As funções inversas são funções circulares. 
IV. x²+y² = 25 é uma função circular. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
II, III e IV. 
2. 
I e IV. 
3. 
II e III. 
Resposta correta 
4. 
I, III e IV. 
5. 
II e IV. 
6. Pergunta 6 
/1 
O círculo trigonométrico é objeto de estudo da humanidade desde os povos antigos. 
Existem inúmeras relações presentes nesse objeto, tal como a relação fundamental 
trigonométrica, que relaciona os quadrados do seno e cosseno com o raio unitário do 
círculo trigonométrico, entre outras. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o limite fundamental 
trigonométrico e acerca dessas relações, analise as afirmativas a seguir e assinale V 
para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s): 
I. ( ) é uma relação trigonométrica. 
II. ( ) é uma relação trigonométrica. 
III. ( ) A tg(x) pode ser escrita em função do sen(x) e cos(x). 
IV. ( ) cos(x) e sen(x) são equivalentes. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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7. Pergunta 7 
/1 
O cálculo está muito associado com a ideia de zero e do infinito e, para lidar com esses 
conceitos, muitas vezes faz-se uso de instrumentos e temas sofisticados. O próprio 
limite é um desses conceitos referenciados, pois consegue explorar com perfeição a 
ideia de proximidade e, com isso, proporciona inúmeros ganhos ao conhecimento 
humano, assim como o conceito e instrumento matemático chamado de diferencial. 
Considerando essas informações e os estudos sobre o conceito de diferencial, pode-se 
afirmar que ele é relevante porque: 
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1. 
relaciona uma função trigonométrica com sua função inversa. 
2. 
é útil na aplicação da regra de L’Hospital. 
3. 
está relacionado com a ideia de infinitésimo. 
Resposta correta 
4. 
torna dispensável o uso do limite. 
5. 
é pouco útil para a fundamentação do cálculo. 
8. Pergunta 8 
/1 
O estudo do Cálculo fornece ferramentas matemáticas importantes para inúmeras 
áreas do conhecimento, principalmente a Física. Ele auxilia no estudo das leis horárias 
que descrevem movimentos de partículas e corpos, possibilitado a integração e 
derivação de algumas funções, de modo a propiciar o descobrimento de uma nova 
informação. 
Considere que a derivada da equação horária do movimento S’(t) é igual à equação 
horária da velocidade v(t), e a derivada segunda da equação horária do movimento 
S’’(t) é a equação horária da aceleração a(t). De acordo com essas informações e com 
seus conhecimentos sobre derivação, analise as afirmativas a seguir: 
I. A derivada de f(x)*g(x) é igual a 2sen(2x) − cos(x). 
II. A derivada de h(x) é h’(x) = sen(2x). 
III. f’(x) = −cos(x), pois a derivada de cos(x) é −sen(x). 
IV. A derivada de i(x) é i’(x) = 3x² + 2sen(2x) + 9sen(3x). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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9. Pergunta 9 
/1 
Ao estudar cálculo diferencial e integral, vemos que essas duas operações são inversas. 
Ou seja, tendo uma função f(x), a integral de sua derivada f’(x) é a própria f(x).A esta 
constatação damos o nome de Teorema Fundamental do Cálculo. Já fisicamente, a 
derivada significa uma taxa de variação, ou seja, um coeficiente angular de uma reta 
tangente à curva em um dado ponto da função, enquanto a integral representa a área 
sob a curva do gráfico da função em um intervalo definido. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o Teorema 
Fundamental do Cálculo e as propriedades de derivação e integração, analise as 
afirmativas a seguir. 
I. A integral da terceira derivada de i(x) = e^(2x) + 3x² + sen(x) é igual a 4e^(2x) + 6 − 
sen(x). 
II. Ao integrarmos oito vezes a função g(x) = x³ + 2 e, após isso, derivarmos a expressão 
obtida por 9 vezes, obtemos uma nova função que intercepta o gráfico na origem. 
III. A derivada de h(x) = cos(2x) é igual a −4sen(x)cos(x). 
IV. A integral da função f(x) = x² + 2x + 1 é igual a x³ + 2x² + x. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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10. Pergunta 10 
/1 
O conhecimento acerca dos métodos de derivação é muito útil para encontrar retas 
tangentes e taxas de variações. Derivar funções trigonométricas é fundamental para o 
prosseguimento dos estudos no Cálculo, já que existem diversas aplicações reais dos 
conceitos aprendidos nesta disciplina, como na modelagem de sistemas harmônicos 
simples e de correntes alternadas, por exemplo. 
Considerando essas informações e com base nos seus conhecimentos acerca das 
derivadas trigonométricas, associe as funções a seguir com suas respectivas 
características: 
1) f(x) = sen(x). 
2) f(x) = cos(x). 
3) f(x) = tg(x). 
4) f(x) = sec(x). 
( ) Sua derivada segunda é f(x)*(-1). 
( ) Sua derivada é 
( ) Sua derivada terceira é sen(x). 
( ) Sua derivada é sec²(x). 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
4, 2, 1, 3. 
2. 
2, 1, 3, 4. 
3. 
1, 3, 2, 4. 
4. 
4, 1, 2, 3. 
5. 
1, 4, 2, 3.