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Equipe de GAAV do CEFET-MG no ERE Versão de 29 de novembro de 2020
Sistema de coordenadas polares
O sistema de coordenadas polares é um sistema de coordenadas utilizado para descrever os
pontos do plano. Nesse sistema, nós tomamos o ponto �xo do plano que coincide com a origem
do plano cartesiano (chamado de pólo do plano polar e também denotado por O), tomamos a
semi-reta horizontal do plano com ponto inicial no pólo que coincide com o semi-eixo positivo
de x (chamada de eixo polar) e utilizamos a mesma unidade de medida do sistema cartesiano
tradicional xy.
Em coordenadas polares, um ponto P do plano pode ser descrito por um par ordenado de
números reais (r, θ). A coordenada r é a distância do ponto P ao pólo, ou seja, r = d(P,O) =
‖
−→
OP‖. Observe que o ponto P se encontra sobre a circunferência de raio r centrada na origem
(uma vez que sua distância até a origem é r). A coordenada θ corresponde a um ângulo em
radianos pelo qual se rotacionarmos o vetor
−→
OA em torno da origem (onde A é o ponto sobre o
eixo polar que dista r unidades da origem) obteremos o vetor
−→
OP . A coordenada θ é positiva
se essa rotação ocorrer no sentido anti-horário e negativa se essa rotação ocorrer no sentido
horário.
Exemplo 1. Em cada caso, desenhe no plano polar o ponto cujas coordenadas polares são
dadas.
(a) P = (2, 3π). (b) P =
(
5,
2π
3
)
. (c) P =
(
3,−π
6
)
. (d) P =
(
4,
25π
4
)
.
Resolução:
(a) O ponto P é o ponto que dista 2 unidades da origem e que corresponde ao ponto �nal
do representante do vetor
−→
OP obtido ao rotacionar o vetor
−→
OA (onde A é o ponto sobre
o eixo polar que dista 2 unidades da origem) por um ângulo de 3π radianos no sentido
anti-horário.
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(b) O ponto P é o ponto que dista 5 unidades da origem e que corresponde ao ponto �nal
do representante do vetor
−→
OP obtido ao rotacionar o vetor
−→
OA (onde A é o ponto sobre
o eixo polar que dista 5 unidades da origem) por um ângulo de
2π
3
radianos no sentido
anti-horário.
(c) O ponto P é o ponto que dista 3 unidades da origem e que corresponde ao ponto �nal do
representante do vetor
−→
OP obtido ao rotacionar o vetor
−→
OA (onde A é o ponto sobre o eixo
polar que dista 3 unidades da origem) por um ângulo de
π
6
radianos no sentido horário.
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(d) O ponto P é o ponto que dista 4 unidades da origem e que corresponde ao ponto �nal do
representante do vetor
−→
OP obtido ao rotacionar o vetor
−→
OA (onde A é o ponto sobre o eixo
polar que dista 4 unidades da origem) por um ângulo de
25π
4
= 6π+
π
4
radianos no sentido
anti-horário.
É interessante estender o sinal da coordenada r também para os negativos para que todo
par ordenado de números reais esteja associado à algum ponto do plano. Para tanto, de�nimos
o ponto de coordenadas (−r, θ) como sendo o mesmo ponto correspondente ao par ordenado
(r, θ + π) se r > 0. Ou seja, o ponto (−r, θ) é o ponto sobre a circunferência de raio r
diametralmente oposto ao ponto (r, θ).
Exemplo 2. Em cada caso, desenhe no plano polar o ponto cujas coordenadas polares são
dadas.
(a) P = (−2, π). (b) P =
(
−1, π
2
)
. (c) P =
(
−3, π
4
)
. (d) P =
(
−5,−π
6
)
.
Resolução:
3
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(a) Como P = (2, π + π) = (2, 2π), então o ponto P é o ponto que dista 2 unidades da origem
e que corresponde ao ponto �nal do representante do vetor
−→
OP obtido ao rotacionar o vetor−→
OA (onde A é o ponto sobre o eixo polar que dista 2 unidades da origem) por um ângulo
de 2π radianos no sentido anti-horário.
(b) Como P =
(
1,
π
2
+ π
)
=
(
1,
3π
2
)
, então o ponto P é o ponto que dista 1 unidades da
origem e que corresponde ao ponto �nal do representante do vetor
−→
OP obtido ao rotacionar
o vetor
−→
OA (onde A é o ponto sobre o eixo polar que dista 1 unidades da origem) por um
ângulo de
3π
2
radianos no sentido anti-horário.
(c) Como P =
(
3,−5π
4
+ π
)
=
(
3,−π
4
)
, então o ponto P é o ponto que dista 3 unidades da
origem e que corresponde ao ponto �nal do representante do vetor
−→
OP obtido ao rotacionar
o vetor
−→
OA (onde A é o ponto sobre o eixo polar que dista 3 unidades da origem) por um
ângulo de
π
4
radianos no sentido horário.
4
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(d) Como P =
(
5,−π
6
+ π
)
=
(
5,
5π
6
)
, então o ponto P é o ponto que dista 5 unidades da
origem e que corresponde ao ponto �nal do representante do vetor
−→
OP obtido ao rotacionar
o vetor
−→
OA (onde A é o ponto sobre o eixo polar que dista 5 unidades da origem) por um
ângulo de
5π
6
radianos no sentido anti-horário.
Podemos pensar nas coordenadas polares (r, θ) de um ponto do plano da seguinte forma:
imagine que você está no pólo do sistema de coordenadas polares olhando para o eixo polar.
. O ângulo θ representa o quanto temos que girar para chegarmos até o ponto desejado. Se
θ é positivo giramos no sentido anti-horário (ou seja, para a esquerda), se θ é negativo
giramos no sentido horário (ou seja, para a direita) e se θ = 0 não giramos nada.
. A coordenada r representa o quanto temos que andar para frente ou para trás para chegar
até o ponto após termos rotacionado pelo ângulo θ. Se r é positivo andamos para frente,
se r é negativo andamos para trás e se r = 0 não andamos nada e, portanto, não saímos
do pólo.
Observe que temos várias formas de chegarmos até um ponto P do plano utilizando este
raciocício. Por exemplo, se P = (r, θ), onde r > 0, então para atingirmos o ponto P podemos:
. Girar o corpo de um ângulo θ e andar r unidades para frente. Nesse caso, obtemos as
coordenadas P = (r, θ).
. Girar o corpo de um ângulo θ + π e andar r unidades para trás. Nesse caso, obtemos as
coordenadas P = (−r, θ + π).
. Girar o corpo de um ângulo θ − 2π e andar r unidades para frente. Nesse caso, obtemos
as coordenadas (r, θ − 2π).
. Girar o corpo de um ângulo θ + 4π e andar r unidades para frente. Nesse caso, obtemos
as coordenadas (r, θ + 4π).
. Girar o corpo de um ângulo θ − π e andar r unidades para trás. Nesse caso, obtemos as
coordenadas (−r, θ − π).
e assim por diante. Concluímos assim que o mesmo ponto pode ser representado de diferentes
formas em coordenadas polares como (r, θ), (−r, θ + π), (r, θ − 2π), (r, θ + 4π), (−r, θ − π), etc.
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Exemplo 3. O ponto de coordenadas polares P =
(
2,
π
6
)
também pode ser escrito em coorde-
nadas polares como
. P =
(
−2, π
6
+ π
)
=
(
−2, 7π
6
)
;
. P =
(
2,
π
6
− 2π
)
=
(
2,−11π
6
)
;
. P =
(
2,
π
6
+ 4π
)
=
(
2,
25π
6
)
;
. P =
(
−2, π
6
− π
)
=
(
−2,−5π
6
)
.
Algumas propriedades importantes envolvendo coordenadas polares são:
(1) (r, θ) = (r, θ + 2nπ) para todo n ∈ Z.
De fato, se rotacionarmos θ ou θ + 2nπ à partir do sentido do eixo polar, nós vamos
parar exatamente na mesma direção e no mesmo sentido: a diferença será você ter dado
mais ou menos voltas para chegar nessa posição e ter rotacionado no sentido horário ou
anti-horário para chegar nessa posição. Observe que, com isso, podemos concluir que um
ponto do plano tem in�nitos pares ordenados de coordenadas polares correspondentes à ele.
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(2) Os pares ordenados (0, θ) correspondem ao pólo do sistema coordenado para todo θ ∈ R.
De fato, como a distância do ponto (0, θ) para o pólo é zero (pois r = 0), então esse
ponto é o próprio pólo.
(3) Os pares ordenados (r, nπ) representam pontos sobre o eixo x para todo n ∈ Z.
Mudando de coordenadas polares para coordenadas cartesianas
Considere a �gura abaixo na qual representamos o sistema de coordenadas cartesianas e o
sistema de coordenadas polares no mesmo desenho.
Pelo triângulo retângulo da �gura, observamos que se r 6= 0, então cos θ = x
r
⇒ x = r cos θ
e sen θ =
y
r
⇒ y = r sen θ. Além disso, se r= 0, então o ponto P corresponde à origem do
sistema coordenado e, portanto, x = 0 = 0 · cosθ = r cos θ e y = 0 = 0 · sen θ = r sen θ.
Logo, as coordenadas cartesianas (x, y) de um ponto P podem ser escritas em termos das
coordenadas polares (r, θ) de P como x = r cos θ e y = r sen θ . Com essas fórmulas consegui-
mos encontrar as coordenadas cartesianas de um ponto qualquer quando as suas coordenadas
polares são conhecidas.
Exemplo 4. Em cada caso, determine as coordenadas cartesianas do ponto P cujas coordena-
das polares são dadas.
(a) P =
(
4,
π
6
)
.
(b) P =
(
0,
35π
4
)
.
(c) P = (−3, 0).
(d) P = (−2, π).
(e) P =
(
2,
π
2
)
.
(f) P =
(
1,
3π
2
)
.
(g) P =
(
−7, π
6
)
.
(h) P =
(
−2,−π
3
)
.
(i) P =
(
2
√
2,−3π
4
)
.
Resolução:
(a) No ponto P =
(
4,
π
6
)
temos r = 4 e θ =
π
6
. Logo, as coordenadas cartesianas de P são
x = r cos θ = 4 cos
π
6
= 4 ·
√
3
2
= 2
√
3 e y = r sen θ = 4 sen
π
6
= 4 · 1
2
= 2. Ou seja,
P = (2
√
3, 2) em coordenadas cartesianas.
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(b) No ponto P =
(
0,
35π
4
)
temos r = 0 e, portanto, esse ponto corresponde à origem. Ou
seja, P = (0, 0) em coordenadas cartesianas.
(c) No ponto P = (−3, 0) temos r = −3 e θ = 0. Logo, as coordenadas cartesianas de P são
x = r cos θ = −3 cos 0 = −3 · 1 = −3 e y = r sen θ = −3 sen 0 = −3 · 0 = 0. Ou seja,
P = (−3, 0) em coordenadas cartesianas.
(d) No ponto P = (−2, π) temos r = −2 e θ = π. Logo, as coordenadas cartesianas de P são
x = r cos θ = −2 cosπ = −2 · (−1) = 2 e y = r sen θ = −2 sen π = −2 · 0 = 0. Ou seja,
P = (2, 0) em coordenadas cartesianas.
(e) No ponto P =
(
2,
π
2
)
temos r = 2 e θ =
π
2
. Logo, as coordenadas cartesianas de P são
x = r cos θ = 2 cos
π
2
= 2 · 0 = 0 e y = r sen θ = 2 sen π
2
= 2 · 1 = 2. Ou seja, P = (0, 2)
em coordenadas cartesianas.
(f) No ponto P =
(
1,
3π
2
)
temos r = 1 e θ =
3π
2
. Logo, as coordenadas cartesianas de P são
x = r cos θ = 1 cos
3π
2
= 1 · 0 = 0 e y = r sen θ = 1 sen 3π
2
= 1 · (−1) = −1. Ou seja,
P = (0,−1) em coordenadas cartesianas.
(g) No ponto P =
(
−7, π
6
)
temos r = −7 e θ = π
6
. Logo, as coordenadas cartesianas de P são
x = r cos θ = −7 cos π
6
= −7 ·
√
3
2
= −7
√
3
2
e y = r sen θ = −7 sen π
6
= −7 · 1
2
= −7
2
. Ou
seja, P =
(
−7
√
3
2
,−7
2
)
em coordenadas cartesianas.
(h) No ponto P =
(
−2,−π
3
)
temos r = −2 e θ = −π
3
. Logo, as coordenadas cartesianas de
P são x = r cos θ = −2 cos
(
−π
3
)
= −2 · 1
2
= −1 e y = r sen θ = −2 sen
(
−π
3
)
=
−2 ·
(
−
√
3
2
)
=
√
3. Ou seja, P =
(
−1,
√
3
)
em coordenadas cartesianas.
(i) No ponto P =
(
2
√
2,−3π
4
)
temos r = 2
√
2 e θ = −3π
4
. Logo, as coordenadas cartesi-
anas de P são x = r cos θ = 2
√
2 cos
(
−3π
4
)
= 2
√
2 ·
(
−
√
2
2
)
= −2 e y = r sen θ =
2
√
2 sen
(
−3π
4
)
= 2
√
2 ·
(
−
√
2
2
)
= −2. Ou seja, P = (−2,−2) em coordenadas carte-
sianas.
Mudando de coordenadas cartesianas para coordenadas polares
Vamos aprender a encontrar coordenadas polares (r, θ) para um ponto quando suas coorde-
nadas cartesianas são dadas por P = (x, y). Podemos tomar r = d(P,O) =
√
x2 + y2.
. Se P = (0, 0), então estamos na origem do plano cartesiano e, portanto, r = 0. Podemos
tomar qualquer ângulo θ neste caso para compôr as coordenadas polares de P .
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. Se P 6= (0, 0), então r 6= 0. Nesse caso, como x = r cos θ ⇒ cos θ = x
r
e y = r sen θ ⇒
sen θ =
y
r
, então podemos utilizar o cosseno e o seno para determinar um ângulo θ
referente ao ponto P .
Exemplo 5. Em cada caso, determine coordenadas polares para o ponto P cujas coordenadas
cartesianas são dadas.
(a) P = (1,−1).
(b) P = (0, 2).
(c) P =
(
−4,− 4√
3
)
.
(d) P =
(
5, 5
√
3
)
.
(e) P =
(
−3,
√
27
)
.
(f) P = (−7, 0).
Resolução:
(a) No ponto P = (1,−1) temos x = 1 e y = −1. Logo, podemos tomar r =
√
x2 + y2 =√
12 + (−1)2 =
√
2 e podemos tomar um ângulo θ que satisfaça simultaneamente as relações
cos θ =
x
r
=
1√
2
e sen θ =
y
r
= − 1√
2
. Como o ângulo θ = −π
4
satisfaz essas relações,
então uma representação polar para o ponto P seria P =
(√
2,−π
4
)
.
(b) No ponto P = (0, 2) temos x = 0 e y = 2. Logo, podemos tomar r =
√
x2 + y2 =√
02 + 22 = 2 e podemos tomar um ângulo θ que satisfaça simultaneamente as relações
cos θ =
x
r
=
0
2
= 0 e sen θ =
y
r
=
2
2
= 1. Como o ângulo θ =
π
2
satisfaz essas relações,
então uma representação polar para o ponto P seria P =
(
2,
π
2
)
.
(c) No ponto P =
(
−4,− 4√
3
)
temos x = −4 e y = − 4√
3
. Logo, podemos tomar r =
√
x2 + y2 =
√
(−4)2 +
(
− 4√
3
)2
=
√
16 +
16
3
=
√
64
3
=
8√
3
e podemos tomar um ângulo
θ que satisfaça simultaneamente as relações cos θ =
x
r
= − 4
8/
√
3
= −4 ·
√
3
8
= −
√
3
2
e
sen θ =
y
r
= −4/
√
3
8/
√
3
= − 4√
3
·
√
3
8
= −1
2
. Como o ângulo θ =
7π
6
satisfaz essas relações,
então uma representação polar para o ponto P seria P =
(
8√
3
,
7π
6
)
.
(d) No ponto P =
(
5, 5
√
3
)
temos x = 5 e y = 5
√
3. Logo, podemos tomar r =
√
x2 + y2 =√
52 + (5
√
3)2 =
√
100 = 10 e podemos tomar um ângulo θ que satisfaça simultaneamente
as relações cos θ =
x
r
=
5
10
=
1
2
e sen θ =
y
r
=
5
√
3
10
=
√
3
2
. Como o ângulo θ =
π
3
satisfaz
essas relações, então uma representação polar para o ponto P seria P =
(
10,
π
3
)
.
(e) No ponto P =
(
−3,
√
27
)
temos x = −3 e y =
√
27. Logo, podemos tomar r =
√
x2 + y2 =√
(−3)2 +
√
27
2
=
√
36 = 6 e podemos tomar um ângulo θ que satisfaça simultaneamente
as relações cos θ =
x
r
= −3
6
= −1
2
e sen θ =
y
r
=
√
27
6
=
3
√
3
6
=
√
3
2
. Como o
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ângulo θ =
2π
3
satisfaz essas relações, então uma representação polar para o ponto P seria
P =
(
6,
2π
3
)
.
(f) No ponto P = (−7, 0) temos x = −7 e y = 0. Logo, podemos tomar r =
√
x2 + y2 =√
(−7)2 + 02 = 7 e podemos tomar um ângulo θ que satisfaça simultaneamente as relações
cos θ =
x
r
= −7
7
= −1 e sen θ = y
r
=
0
7
= 0. Como o ângulo θ = π satisfaz essas relações,
então uma representação polar para o ponto P seria P = (7, π).
Curvas em coordenadas polares
Chamamos uma equação envolvendo coordenadas polares de equação polar e ela pode ser
representada gra�camente pelo conjunto de todos os pontos P do plano que possuem pelo
menos uma representão polar (r, θ) satisfazendo a equação (como todo ponto do plano possui
in�nitas representações polares, então pode ser que nem todas suas representações satisfaçam
a equação e por isso exigimos que haja pelo menos uma dessas representações satisfazendo a
equação dada).
Exemplo 6. Determine e desenhe a curva descrita pela equação polar dada, onde k é uma
constante real.
(a) r = k, k 6= 0. (b) r = 0. (c) θ = k.
Resolução:
(a) Os pontos que possuem alguma representação polar na qual r = k são os pontos que distam
exatamente |k| unidades da origem. Portanto, se k 6= 0 esse pontos são os pontos per-
tencentes à circunferência de raio |k| centrada na origem. Por exemplo, a equação r = 3
representa a circunferência de raio 3 centrada na origem, a equação r = −7 representa a
circunferência de raio 7 centrada na origem, a equação r =
1√
3
representa a circunferência
de raio
1√
3
centrada na origem, etc.
(b) Os pontos que possuem alguma representação polar na qual r = 0 são os pontos que distam
exatamente 0 unidades da origem. Como o único ponto que satisfaz isso é o próprio pólo,
então essa equação representa um único ponto que é o pólo do plano polar.
(c) Os pontos que possuem alguma representação polar na qual θ = k são os pontos que estão
sobre a reta obtida ao rotacionar a reta y = 0 (que corresponde ao eixo x) pelo ângulo k
em torno da origem. Logo, a equação θ = k representa uma reta do plano. Por exemplo,
a equação θ =
π
2
representa a reta obtida ao rotacionar a reta y = 0 pelo ângulo de
π
2
radianos no sentido anti-horário ao redor daorigem, a equação θ =
2π
3
representa a reta
obtida ao rotacionar a reta y = 0 pelo ângulo de
2π
3
radianos no sentido anti-horário ao
redor da origem, a equação θ = −π
4
representa a reta obtida ao rotacionar a reta y = 0
pelo ângulo de
π
4
radianos no sentido horário ao redor da origem, etc.
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Observação 1. Como cos2 θ + sen 2θ = 1, então
x2 + y2 = (r cos θ)2 + (r sen θ)2 = r2 cos2 θ + r2 sen 2θ = r2(cos2 θ + sen 2θ) = r2 · 1 = r2.
Concluímos assim que r2 = x2 + y2 . Essa fórmula nos ajuda a fazer algumas transições entre
coordenadas cartesianas e coordenadas polares de forma mais rápida.
Exemplo 7. Em cada caso, determine uma equação polar correspondente à equação cartesiana
dada.
(a) y =
1√
3
x. (b) y = −x.
(c) x2 + y2 = 9.
(d) x2 − y2 = 13y.
(e) y = x2.
Resolução:
(a) Observe que a equação y =
1√
3
x representa uma reta passando pela origem do sistema
cartesiano. Logo, sua equação polar será da forma θ = k, onde k é o ângulo entre essa reta
e o eixo polar. Como o coe�cinte angular da reta é a tangente do seu ângulo com o eixo
positivo x, então tan k =
1√
3
e, portanto, k =
π
6
. Logo, a equação polar da reta y =
1√
3
x
é θ =
π
6
. Observe que também podemos representar essa mesma reta pelas equações polares
θ =
π
6
+ nπ, onde n ∈ Z. Por exemplo, poderíamos utilizar as equações θ = −5π
6
, θ =
7π
6
,
etc.
(b) Observe que a equação y = −x representa uma reta passando pela origem do sistema
cartesiano. Logo, sua equação polar será da forma θ = k, onde k é o ângulo entre essa reta
e o eixo polar. Como o coe�cinte angular da reta é a tangente do seu ângulo com o eixo
positivo x, então tan k = −1 e, portanto, k = 3π
4
. Logo, a equação polar da reta y = −x é
θ =
3π
4
. Observe que também podemos representar essa mesma reta pelas equações polares
θ =
3π
4
+ nπ, onde n ∈ Z. Por exemplo, poderíamos utilizar as equações θ = −π
4
, θ =
7π
4
,
etc.
(c) Observe que a equação x2 + y2 = 9 representa uma circunferência de raio 3 centrada na
origem do sistema cartesiano. Logo, uma equação polar para essa curva é r = 3. Também
podemos representar essa mesma circunferência pela equação r = −3.
(d) Utilizando que x = r cos θ e y = r sen θ, temos que
x2 − y2 = 13y ⇒ (r cos θ)2 − (r sen θ)2 = 13r sen θ ⇒ r2 cos2 θ − r2 sen 2θ = 13r sen θ
⇒ r2(cos2 θ − sen 2θ) = 13r sen θ ⇒ r2 cos(2θ) = 13r sen θ
⇒ r cos(2θ) = 13 sen θ ⇒ r = 13 sen θ · 1
cos(2θ)
⇒ r = 13 sen θ sec(2θ) .
(e) Utilizando que x = r cos θ e y = r sen θ, temos que
y = x2 ⇒ r sen θ = (r cos θ)2 ⇒ r sen θ = r2 cos2 θ ⇒ sen θ = r cos2 θ
⇒ r = senθ
cos2 θ
=
sen θ
cos θ
· 1
cos θ
⇒ r = tan θ sec θ .
11
Equipe de GAAV do CEFET-MG no ERE Versão de 29 de novembro de 2020
Exemplo 8. Em cada caso, determine a equação cartesiana correspondente à equação polar
dada e determine a curva descrita pela equação.
(a) r =
9
5− 4 sen θ
. (b) cosθ = sen θ.
(c) cos2θ = sen 2θ.
(d) r2(4 cos2 θ−9 sen 2θ) = 1.
(e) r = 4 cos θ
Resolução:
(a) Multiplicando os dois lados da equação r =
9
5− 4 sen θ
por 5− 4 sen θ, obtemos
r(5− 4 sen θ) = 9⇒ 5r − 4r sen θ = 9.
Como y = r sen θ, então essa equação pode ser escrita como 5r − 4y = 9 ⇒ 5r = 9 + 4y.
Elevando os dois lados dessa equação ao quadrado e usando que r2 = x2 + y2, obtemos
(5r)2 = (9 + 4y)2 ⇒ 25r2 = 81 + 72y + 16y2 ⇒ 25x2 + 25y2 = 81 + 72y + 16y2
⇒ 25x2 + 9y2 − 72y = 81⇒ 25x2 + 9(y2 − 8y) = 81
⇒ 25x2 + 9
(
(y − 4)2 − 16
)
= 81⇒ 25x2 + 9(y − 4)2 − 144 = 81
⇒ 25x2 + 9(y − 4)2 = 225⇒ x
2
9
+
(y − 4)2
25
= 1
Logo, essa equação representa a elipse de semi-eixo maior 5, semi-eixo menor 3, centrada
no ponto (0, 4) e com semi-eixo maior paralelo ao eixo y.
(b) Como cos θ =
x
r
e sen θ =
y
r
se r 6= 0, então
cos θ = sen θ ⇒ x
r
=
y
r
⇒ x = y .
Por outro lado, como o ponto de coordenadas polares
(
0,
π
4
)
(que corresponde à origem)
satisfaz a equação cos θ = sen θ, então a origem também faz parte dessa curva. Como a
origem era o único ponto da reta y = x que faltava, então a curva correspondente à essa
equação é a reta y = x.
(c) Como cos θ =
x
r
e sen θ =
y
r
se r 6= 0, então
cos2θ = sen 2θ ⇒ x
2
r2
=
y2
r2
⇒ y2 = x2 ⇒ y = ±x .
Por outro lado, como o ponto de coordenadas polares
(
0,
π
4
)
(que corresponde à origem)
satisfaz a equação cos2 θ = sen 2θ, então a origem também faz parte dessa curva. Como
a origem é o ponto de interseção das retas y = x e y = −x (e era o único ponto das duas
retas que faltava), então a curva correspondente à essa equação é o par de retas y = x e
y = −x.
(d) Como cos θ =
x
r
e sen θ =
y
r
se r 6= 0, então
r2(4cos2θ − 9 sen 2θ) = 1⇒ r2
(
4
x2
r2
− 9y
2
r2
)
= 1⇒ 4x2 − 9y2 = 1⇒ x
2
1/4
− y
2
1/9
= 1 .
12
Equipe de GAAV do CEFET-MG no ERE Versão de 29 de novembro de 2020
Por outro lado, como os pontos no qual r = 0 não satisfazem a equação (pois teríamos
r2(4 cos2 θ − 9 sen 2θ) = 1 ⇒ 0(4 cos2 θ − 9 sen 2θ) = 1 ⇒ 0 = 1, o que é impossível),
então a origem não faz parte dessa curva. Logo, a curva correspondente à essa equação é a
hipérbole com focos no eixo x, vértices
(
1
2
, 0
)
e
(
−1
2
, 0
)
, assíntotas y = ±1/3
1/2
x = ±2
3
x
e centrada na origem.
(e) Como cos θ =
x
r
se r 6= 0, então
r = 4 cos θ ⇒ r = 4x
r
⇒ r2 = 4x⇒ x2 + y2 = 4x⇒ x2 − 4x+ y2 = 0
⇒ (x− 2)2 − 4 + y2 = 0⇒ (x− 2)2 + y2 = 4 .
Por outro lado, como o ponto de coordenadas polares
(
0,
π
2
)
satisfaz a equação, pois 0 =
cos
π
2
, então a origem faz parte dessa curva. Como a origem faz parte da circunferência de
raio 2 centrada no ponto (2, 0) (e era o único ponto da circunferência que faltava), então a
curva correspondente à equação dada é a circunferência de raio 2 centrada no ponto (2, 0).
Representando gra�camente conjuntos em coordenadas polares
Exemplo 9. Esboce a região do plano composta de todos os pontos pertencentes ao conjunto
cujas condições nas coordenadas polares r e θ são dadas.
(a)
{
(r, θ) ∈ R2 | r ≥ 2
}
.
Observe que para um ponto pertencer à esse conjunto é necessário que sua distância até
a origem seja maior ou igual a 2. Logo, esse conjunto é composto de todos os pontos da
circunferência de raio 2 centrada na origem (que são os pontos onde r = 2) e todos os
pontos fora do disco de raio 2 centrado na origem (que são os pontos em que r > 2).
(b)
{
(r, θ) ∈ R2 | 0 ≤ r < 7
}
.
Observe que para um ponto pertencer à esse conjunto é necessário que sua distância até a
origem seja menor do que 7. Logo, esse conjunto é composto de todos os pontos do disco de
raio 2 centrado na origem. Como queremos a desigualdade estrita r < 7, então os pontos da
circunferência de raio 7 centrada na origem não fazem parte do conjunto (apenas a região
do plano cercada por essa circunferência).
13
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(c)
{
(r, θ) ∈ R2 | 2 ≤ r ≤ 3, π
6
≤ θ ≤ π
3
}
.
Os pontos desse conjunto são os pontos que estão entre as circunferências r = 2 e r = 3
e que estão entre as semi-retas obtidas ao rotacionar o eixo polar por um ângulo de
π
6
radianos e de
π
3
radianos no sentido anti-horário. Nós tomamos apenas essas semi-retas,
pois como os valores de r dos pontos desse conjunto são positivos, a coordenada θ desses
pontos é o ângulo obtido ao rotacionar o vetor
−→
OA (onde A é o ponto sobre o eixo polar
que dista r unidades da origem) pelo ângulo θ ao redor da origem.
(d)
{
(r, θ) ∈ R2 | 1 ≤ r ≤ 5, −π
4
≤ θ ≤ 7π
6
}
.
Os pontos desse conjunto são os pontos que estão entre as circunferências r = 1 e r = 5 e
que estão entre os segmentos de reta obtidos ao rotacionar o eixo polar por um ângulo de
π
4
radianos no sentido horário e de
7π
6
radianos no sentido anti-horário.
14
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(e)
{
(r, θ) ∈ R2 | 3 ≤ r ≤ 4, 0 ≤ θ ≤ 2π
}
.
Os pontos desse conjunto são os pontos que estão entre as circunferências r = 3 e r = 4
(incluindo os pontos dessas circunferências), pois quando θ varia de 0 até 2π todos os pon-
tos dessa regiãosão contemplados (uma vez que 2π representa uma volta completa em torno
da origem). Podemos pensar nessa região como sendo a região preenchida ao arrastar o
segmento de reta que liga os pontos (3, 0) e (4, 0) ao redor da origem.
(f)
{
(r, θ) ∈ R2 | 0 ≤ r ≤ 1, π
4
≤ θ ≤ 3π
4
}
.
Os pontos desse conjunto são os pontos que estão dentro da circunferência r = 1 (incluindo
os pontos da circunferência) e que estão entre os segmentos de reta obtidos ao rotacionar
o eixo polar por um ângulo de
π
4
radianos e de
3π
4
radianos no sentido anti-horário.
15
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Coordenadas cilíndricas
No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto P do espaço tridimensional é representado
pela tripla ordenada (r, θ, z), onde (r, θ) são as coordenadas polares da projeção do ponto P
sobre o plano xy e z é a coordenada cartesiana que estamos acostumados. Em outras palavras,
utilizamos coordenadas polares no plano cartesiano xy e a coordenada z continua representando
o deslocamento vertical do ponto com relação ao plano xy.
Podemos obter as coordenadas cartesianas (x, y, z) de um ponto P ∈ R3 à partir das suas
coordenadas cilíndricas (r, θ, z) utilizando as fórmulas x = r cos θ , y = r sen θ e z = z .
Exemplo 10. Determine as coordenadas cartesianas dos pontos cujas coordenadas cilíndricas
são dadas.
(a)
(
2,
2π
3
, 1
)
. (b)
(
4,−π
4
,−2
)
. (c) (3, π, 4). (d)
(
0,
7π
3
, 5
)
.
Resolução:
(a) No ponto P com coordenadas cilíndricas
(
2,
2π
3
, 1
)
, temos que r = 2, θ =
2π
3
e z = 1.
Em coordenadas cartesianas, temos x = r cos θ = 2 cos
2π
3
= 2 ·
(
−1
2
)
, y = r sen θ =
2 sen
2π
3
= 2 ·
√
3
2
=
√
3 e z = 1. Ou seja, em coordenadas cartesianas P = (−1,
√
3, 1).
(b) No ponto P com coordenadas cilíndricas
(
4,−π
4
,−2
)
, temos que r = 4, θ = −π
4
e z =
−2. Em coordenadas cartesianas, temos x = r cos θ = 4 cos
(
−π
4
)
= 4 ·
√
2
2
= 2
√
2,
y = r sen θ = 4 sen
(
−π
4
)
= 4 ·
(
−
√
2
2
)
= −2
√
2 e z = −2. Ou seja, em coordenadas
cartesianas P = (2
√
2,−2
√
2,−2).
(c) No ponto P com coordenadas cilíndricas (3, π, 4), temos que r = 3, θ = π e z = 4. Em
coordenadas cartesianas, temos x = r cos θ = 3 cos π = 3 · (−1) = −3, y = r sen θ =
3 sen π = 3 · 0 = 0 e z = 4. Ou seja, em coordenadas cartesianas P = (−3, 0, 4).
(d) No ponto P com coordenadas cilíndricas
(
0,
7π
3
, 5
)
, temos que r = 0, θ =
7π
3
e z = 5. Em
coordenadas cartesianas, temos x = r cos θ = 0, y = r sen θ = 0 e z = 5. Ou seja, em
coordenadas cartesianas P = (0, 0, 5).
16
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Para determinar coordenadas cilíndricas para um ponto P cujas coordenadas cartesianas
(x, y, z) são conhecidas, podemos tomar r como sendo a distância entre a projeção do ponto
P no plano xy e a origem (ou seja, r = d(P ′, O) = ‖
−−→
OP ′‖, onde P ′ = (x, y, 0)) e utilizar que
cos θ =
x
r
e sen θ =
y
r
para determinar a coordenada θ se r 6= 0 ou tomar qualquer valor para
θ se r = 0. A coordenada z não é alterada.
Exemplo 11. Determine coordenadas cilíndricas para os pontos cujas coordenadas cartesianas
são dadas e desenhe esses pontos no espaço tridimensional.
(a) (2, 2, 1). (b) (0, 4, 7). (c) (−1, 0, 0). (d) (0, 0, 5). (e)
(
3,−
√
3, 2
)
.
Resolução:
(a) No ponto P com coordenadas cartesianas (2, 2, 1), temos x = 2, y = 2 e z = 1. Vamos
tomar r = d(P ′, O) = ‖
−−→
OP ′‖, onde P ′ = (2, 2, 0). Como
−−→
OP ′ = (2, 2, 0), então r =
‖
−−→
OP ′‖ =
√
8 = 2
√
2. Como r 6= 0, vamos utilizar as fórmulas do seno e do cosseno para
obter o ângulo θ. Temos que cos θ =
x
r
=
2
2
√
2
=
1√
2
e sen θ =
y
r
=
2
2
√
2
=
1√
2
. Como
o ângulo θ =
π
4
satisfaz essas relações, podemos representar o ponto P em coordenadas
cilíndricas como P =
(
2
√
2,
π
4
, 1
)
.
(b) No ponto P com coordenadas cartesianas (0, 4, 7), temos x = 0, y = 4 e z = 7. Vamos tomar
r = d(P ′, O) = ‖
−−→
OP ′‖, onde P ′ = (0, 4, 0). Como
−−→
OP ′ = (0, 4, 0), então r = ‖
−−→
OP ′‖ = 4.
Como r 6= 0, vamos utilizar as fórmulas do seno e do cosseno para obter o ângulo θ. Temos
que cos θ =
x
r
=
0
4
= 0 e sen θ =
y
r
=
4
4
= 1. Como o ângulo θ =
π
2
satisfaz essas relações,
podemos representar o ponto P em coordenadas cilíndricas como P =
(
4,
π
2
, 7
)
.
(c) No ponto P com coordenadas cartesianas (−1, 0, 0), temos x = −1, y = 0 e z = 0. Vamos
tomar r = d(P ′, O) = ‖
−−→
OP ′‖, onde P ′ = (−1, 0, 0). Como
−−→
OP ′ = (−1, 0, 0), então r =
‖
−−→
OP ′‖ = 1. Como r 6= 0, vamos utilizar as fórmulas do seno e do cosseno para obter o
ângulo θ. Temos que cos θ =
x
r
=
−1
1
= −1 e sen θ = y
r
=
0
1
= 0. Como o ângulo θ = π
satisfaz essas relações, podemos representar o ponto P em coordenadas cilíndricas como
P = (1, π, 0).
(d) No ponto P com coordenadas cartesianas (0, 0, 5), temos x = 0, y = 0 e z = 5. Vamos tomar
r = d(P ′, O) = ‖
−−→
OP ′‖, onde P ′ = (0, 0, 0). Como
−−→
OP ′ = (0, 0, 0), então r = ‖
−−→
OP ′‖ = 0.
Como r = 0, podemos tomar qualquer valor para θ e, portanto, podemos representar o ponto
P em coordenadas cilíndricas como P = (0, 0, 5), P =
(
0,
π
4
, 5
)
, etc.
(e) No ponto P com coordenadas cartesianas
(
3,−
√
3, 2
)
, temos x = 3, y = −
√
3 e z = 2.
Vamos tomar r = d(P ′, O) = ‖
−−→
OP ′‖, onde P ′ = (3,−
√
3, 0). Como
−−→
OP ′ = (3,−
√
3, 0),
então r = ‖
−−→
OP ′‖ =
√
12 = 2
√
3. Como r 6= 0, vamos utilizar as fórmulas do seno e
do cosseno para obter o ângulo θ. Temos que cos θ =
x
r
=
3
2
√
3
=
√
3
2
e sen θ =
y
r
=
−
√
3
2
√
3
= −1
2
. Como o ângulo θ = −π
6
satisfaz essas relações, podemos representar o ponto
P em coordenadas cilíndricas como P =
(
2
√
3,−π
6
, 2
)
.
17
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Exemplo 12. Em cada caso, identi�que a �gura geométrica representada pela equação cilín-
drica dada, onde k é uma constante real.
(a) r = 0. (b) r = k, k 6= 0. (c) θ = k. (d) z = k.
Resolução:
(a) A equação r = 0 corresponde a todos os pontos cuja projeção no plano xy é a origem
(que são os pontos do plano polar que satisfazem r = 0). Logo, os pontos que possuem
alguma representação cilíndrica que satisfaz essa equação são os pontos sobre o eixo z (ou
seja, os pontos que possuem coordenadas cartesianas (0, 0, z)) e, portanto, a equação r = 0
representa a reta do espaço tridimensional que coincide com o eixo z.
(b) Se k 6= 0, então a equação r = k corresponde a todos os pontos cuja projeção no plano
xy está sobre a circunferência r = k. Logo, os pontos que possuem alguma representação
cilíndrica que satisfaz essa equação são os pontos pertencentes ao cilindro circular de raio
|k| com eixo central z.
(c) Os pontos que possuem alguma representação cilíndrica na qual θ = k são os pontos cuja
projeção sobre o plano xy está sobre a reta θ = k e, portanto, são os pontos sobre o plano
que é paralelo ao eixo z e intercepta o plano xy na reta θ = k (podemos pensar nesse plano
como o plano obtido ao rotacionar o plano xz por θ radianos ao redor do eixo z).
(d) Como a coordenada z representa a mesma coisa em coordenadas cartesianas e em coorde-
nadas cilíndricas, então a equação z = k continua representando o plano que possui vetor
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normal (0, 0, 1) =
−→
k e que contém o ponto (0, 0, k) (ou seja, o plano que é paralelo ao
plano xy e que passa pelo ponto (0, 0, k)).
Exemplo 13. Em cada caso, determine a equação cartesiana correspondente à equação cilín-
drica dada e identi�que a �gura geométrica representada pela equação.
(a) r = 4 cos θ − 6 sen θ. (b) z = −r2. (c) z = 3r cos θ−5r sen θ+2.
Resolução:
(a) Como cos θ =
x
r
e sen θ =
y
r
, então
r = 4 cos θ − 6 sen θ ⇒ r = 4 · x
r
− 6 · y
r
⇒ r2 = 4x− 6y
⇒ x2 + y2 = 4x− 6y ⇒ x2 − 4x+ y2 + 6y = 0
⇒ (x− 2)2 − 4 + (y + 3)2 − 9 = 0⇒ (x− 2)2 + (y + 3)2 = 13 .
e, portanto, essa equação corresponde à um cilindro circular de raio
√
13 que possui como
curva geratriz a circunferência de raio
√
13 centradano ponto (2,−3, 0).
(b) Como r2 = x2 + y2, então a equação cilíndrica z = −r2 pode ser representada em coorde-
nadas cartesianas por z = −(x2 + y2)⇒ z = −x2 − y2 que corresponde a um parabolóide
elíptido com vértice na origem e virado para o lado negativo do eixo z.
(c) Como r cos θ = x e r sen θ = y, então z = 3r cos θ − 5r sen θ + 2 ⇒ z = 3x − 5y + 2 ⇒
3x− 5y − z + 2 = 0 que corresponde ao plano que possui vetor normal −→n = (3,−5,−1) e
passa pelo ponto (0, 0, 2).
Exemplo 14. Em cada caso, determine a equação cilíndrica correspondente à equação carte-
siana dada e identi�que a �gura geométrica representada pela equação.
(a) x2 + y2 + z2 = 16.
(b) z2 = 5x2 + 5y2.
(c) z = 4x2 + 4y2.
(d) z = 3x2 − 3y2.
(e) x2 + y2 = 9.
Resolução:
(a) Como x2 + y2 = r2, então a equação x2 + y2 + z2 = 16 (que corresponde a uma esfera de
raio 4 centrada na origem) pode ser escrita em coordenadas cilíndricas como r2 + z2 = 16.
(b) Como x2 + y2 = r2, então a equação z2 = 5x2 + 5y2 = 5(x2 + y2) (que corresponde a um
cone com eixo central z com vértice na origem) pode ser escrita em coordenadas cilíndricas
como z2 = 5r2.
(c) Como x2 + y2 = r2, então a equação z = 4x2 + 4y2 = 4(x2 + y2) (que corresponde a um
paraboloide elíptico com eixo central z, vértice na origem e virado para o lado positivo do
eixo z) pode ser escrita em coordenadas cilíndricas como z = 4r2.
(d) Como x = r cos θ e y = r sen θ, então a equação z = 3x2 − 3y2 (que corresponde a
um paraboloide hiperbólico com eixo central z na posição padrão) pode ser escrita em
coordenadas cilíndricas como z = 3(r cos θ)2 − 3(r sen θ2) = 3r2 cos2 θ + 3r2 sen 2θ =
3r2(cos2 θ − sen 2θ) = 3r2 cos(2θ), ou seja, por z = 3r2 cos(2θ) .
19
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(e) Como a equação x2 + y2 = 9 corresponde a um cilindro circular de raio 3 com eixo central
z, então essa equação pode ser escrita em coordenadas cilíndricas como r = 3.
Coordenadas esféricas
No sistema de coordenadas esféricas, um ponto P do espaço tridimensional é representado
pela tripla ordenada (ρ, θ, φ), onde
. ρ = d(P, 0) = ||
−→
OP || ≥ 0 é a distância entre o ponto P e a origem.
. θ é o ângulo pelo qual temos que rotacionar o vetor (x, 0, 0) em torno do eixo z para que
esse vetor coincida com o vetor
−−→
OP ′, onde P ′ = (x, y, 0).
. φ ∈ [0, π] é o ângulo entre o vetor
−→
k = (0, 0, 1) e o vetor
−→
OP .
Suponha que P = (x, y, z) em coordenadas cartesianas. Sejam P ′ = (x, y, 0) a projeção do
ponto P no plano xy e X = (x, 0, 0) a projeção do ponto P ′ no eixo x.
Utilizando o teorema de Pitágoras no triângulo OP ′X, obtemos que a hipotenusa desse triâ-
gulo retângulo é ‖
−−→
OP ′‖ =
√
x2 + y2. Analisando o ângulo θ nesse triângulo retângulo obtemos
que cos θ =
x√
x2 + y2
⇒ x =
√
x2 + y2 cos θ e sen θ =
y√
x2 + y2
⇒ y =
√
x2 + y2 sen θ.
20
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Por outro lado, observando que o ângulo do vértice P do triângulo retângulo OPP ′ é igual
a φ, obtemos que sen φ =
√
x2 + y2
ρ
⇒
√
x2 + y2 = ρ sen φ e cosφ =
z
ρ
⇒ z = ρ cosφ. Logo,
x =
√
x2 + y2 cos θ = ρ sen φ cos θ e y =
√
x2 + y2 sen θ = ρ sen φ sen θ. Concluímos assim
que podemos obter as coordenadas cartesianas (x, y, z) de um ponto P ∈ R3 à partir das suas
coordenadas esféricas (ρ, θ, φ) utilizando as fórmulas x = ρ sen φ cos θ , y = ρ sen φ sen θ e
z = ρ cosφ .
Observe que ρ = d(P,O) =
√
x2 + y2 + z2 e, portanto, ρ2 = x2 + y2 + z2 . Essa fórmula é
muito útil para fazer algumas transições entre coordenadas cartesianas e coordenadas esféricas.
Exemplo 15. Determine as coordenadas cartesianas dos pontos cujas coordenadas esféricas
são dadas.
(a)
(
3,
2π
3
, 0
)
. (b)
(
1,
2π
3
,
π
2
)
. (c)
(
2,
π
6
,
2π
3
)
. (d)
(
4,
5π
6
,
π
4
)
.
Resolução:
(a) No ponto P com coordenadas esféricas
(
3,
2π
3
, 0
)
, temos que ρ = 3, θ =
2π
3
e φ = 0. Em
coordenadas cartesianas, temos x = ρ sen φ cos θ = 3 sen 0 cos
2π
3
= 3 · 0 ·
(
−1
2
)
= 0,
y = ρ sen φ sen θ = 3 sen 0 sen
2π
3
= 3 · 0 ·
√
3
2
= 0 e z = ρ cosφ = 3 cos 0 = 3 · 1 = 3. Ou
seja, em coordenadas cartesianas P = (0, 0, 3).
(b) No ponto P com coordenadas esféricas
(
1,
2π
3
,
π
2
)
, temos que ρ = 1, θ =
2π
3
e φ =
π
2
. Em
coordenadas cartesianas, temos x = ρ sen φ cos θ = 1 sen
π
2
cos
2π
3
= 1 · 1 ·
(
−1
2
)
= −1
2
,
y = ρ sen φ sen θ = 1 sen
π
2
sen
2π
3
= 1 · 1 ·
√
3
2
=
√
3
2
e z = ρ cosφ = 1 cos
π
2
= 1 · 0 = 0.
Ou seja, em coordenadas cartesianas P =
(
−1
2
,
√
3
2
, 0
)
.
(c) No ponto P com coordenadas esféricas
(
2,
π
6
,
2π
3
)
, temos que ρ = 2, θ =
π
6
e φ =
2π
3
. Em
coordenadas cartesianas, temos x = ρ sen φ cos θ = 2 sen
2π
3
cos
π
6
= 2 ·
√
3
2
·
√
3
2
=
3
2
,
y = ρ sen φ sen θ = 2 sen
2π
3
sen
π
6
= 2·
√
3
2
· 1
2
=
√
3
2
e z = ρ cosφ = 2 cos
2π
3
= 2· 1
2
= 1.
Ou seja, em coordenadas cartesianas P =
(
3
2
,
√
3
2
, 1
)
.
(d) No ponto P com coordenadas esféricas
(
4,
5π
6
,
π
4
)
, temos que ρ = 4, θ =
5π
6
e φ =
π
3
. Em
coordenadas cartesianas, temos x = ρ sen φ cos θ = 4 sen
π
4
cos
5π
6
= 4 ·
√
2
2
·
(
−
√
3
2
)
=
−
√
6, y = ρ sen φ sen θ = 4 sen
π
4
sen
5π
6
= 4 ·
√
2
2
· 1
2
=
√
2 e z = ρ cosφ = 4 cos
π
4
=
4 ·
√
2
2
= 2
√
2. Ou seja, em coordenadas cartesianas P =
(
−
√
6,
√
2, 2
√
2
)
.
21
Equipe de GAAV do CEFET-MG no ERE Versão de 29 de novembro de 2020
Para determinar coordenadas esféricas para um ponto P cujas coordenadas cartesianas
(x, y, z) são conhecidas:
. tomamos ρ = d(P,O) =
√
x2 + y2 + z2),
. para obter θ, utilizamos que cos θ =
x√
x2 + y2
e sen θ =
y√
x2 + y2
se
√
x2 + y2 6= 0 ou
tomamos um valor qualquer para θ se
√
x2 + y2 = 0,
. utilizamos que z = ρ cosφ para obter que cosφ =
z
ρ
e, portanto, φ = arccos
(
z
ρ
)
(como
φ ∈ [0, π], então a função arco cosseno está bem de�nida).
Exemplo 16. Determine coordenadas esféricas para os pontos cujas coordenadas cartesianas
são dadas.
(a)
(
−3,−
√
3, 0
)
. (b) (0, 1,−1). (c)
(√
3,
√
3,
√
2
)
.
Resolução:
(a) No ponto P com coordenadas cartesianas
(
−3,−
√
3, 0
)
, temos x = −3, y = −
√
3 e z = 0.
Temos então que ρ =
√
x2 + y2 + z2 =
√
(−3)2 + (−
√
3)2 + 02 =
√
12 = 2
√
3. Como√
x2 + y2 =
√
(−3)2 + (−
√
3)2 =
√
12 = 2
√
3 6= 0, então cos θ = x√
x2 + y2
= − 3
2
√
3
=
−
√
3
2
, sen θ =
y√
x2 + y2
= −
√
3
2
√
3
= −1
2
e, portanto, podemos tomar θ =
7π
6
. Por �m,
temos que φ = arccos
(
z
ρ
)
= arccos
(
0
2
√
3
)
= arccos 0 =
π
2
. Logo, podemos representar o
ponto P em coordenadas esféricas como P =
(
2
√
3,
7π
6
,
π
2
)
.
(b) No ponto P com coordenadas cartesianas (0, 1,−1), temos x = 0, y = 1 e z = −1. Temos
então que ρ =
√
x2 + y2 + z2 =
√
02 + 12 + (−1)2 =
√
2. Como
√
x2 + y2 =
√
02 + 12 =
1 6= 0, então cos θ = x√
x2 + y2
=
0
1
= 0, sen θ =
y√
x2 + y2
=
1
1
= 1 e, portanto, podemos
tomar θ =
π
2
. Por �m, temos que φ = arccos
(
z
ρ
)
= arccos
(
− 1√
2
)
=
3π
4
. Logo, podemos
representar o ponto P em coordenadas esféricas como P =
(√
2,
π
2
,
3π
4
)
.
(c) No ponto P com coordenadas cartesianas
(√
3,
√
3,
√
2
)
, temos x =
√
3, y =
√
3 e z =
√
2. Temos então que ρ =
√
x2 + y2 + z2 =
√
(
√
3)2 + (
√
3)2 + (
√
2)2 =
√
8 = 2
√
2.
Como
√
x2 + y2 =
√
(
√
3)2 + (
√
3)2 =
√
6 = 6= 0, então cos θ = x√
x2 + y2
=
√
3√
6
=
1√
2
,
sen θ =
y√
x2 + y2
=
√
3√
6
e, portanto, podemos tomar θ =
π
4
. Por �m, temos que φ =
arccos
(
z
ρ
)
= arccos
( √
2
2
√
2
)
= arccos
1
2
=
π
3
. Logo, podemos representar o ponto P em
coordenadas esféricas como P =
(
2
√
2,
π
4
,
π
3
)
.
22
Equipe de GAAV do CEFET-MG no ERE Versão de 29 de novembro de 2020
Exemplo 17. Em cada caso, identi�que a �gura geométrica representada pela equação esférica
dada, onde k é uma constante real.
(a) ρ = 0.
(b) ρ = k, k > 0.
(c) θ = k.
(d) φ = 0.
(e) φ = π.
(f) φ =
π
2
.
(g) φ = k, k /∈
{
0,
π
2
, π
}
.
Resolução:
(a) A equação ρ = 0 corresponde a todos os pontos cujadistância até a origem é zero e,
portanto, essa equação representa um único ponto que é a própria origem.
(b) Se k 6= 0, então a equação ρ = k corresponde a todos os pontos cuja distância até a origem
é k e, portanto, essa equação corresponde à esfera de raio k centrada na origem.
(c) Os pontos que possuem alguma representação esférica na qual θ = k são os pontos cuja
projeção sobre o plano xy está sobre a semi-reta obtida ao rotacionar o semi-eixo positivo
x pelo ângulo k e, portanto, são os pontos sobre um semi-plano que é paralelo ao eixo z
(podemos pensar nesse semi-plano como o semi-plano obtido ao rotacionar o semi-plano
{(x, 0, z) ∈ R3|x ≥ 0} por θ radianos ao redor do eixo z).
(d) Os pontos que possuem coordenada esférica φ = 0 são os pontos P cujo ângulo entre o
vetor
−→
OP e o vetor
−→
k é nulo, e portanto, são os pontos sobre o semi-eixo positivo z.
(e) Os pontos que possuem coordenada esférica φ =
π
2
são os pontos P cujo ângulo entre o
vetor
−→
OP e o vetor
−→
k é
π
2
, e portanto, são os pontos pertencentes ao plano xy.
(f) Os pontos que possuem coordenada esférica φ = π são os pontos P cujo ângulo entre o
vetor
−→
OP e o vetor
−→
k é π, e portanto, são os pontos sobre o semi-eixo negativo z.
(g) Os pontos que possuem coordenada esférica φ = k são os pontos P cujo ângulo entre o vetor
−→
OP e o vetor
−→
k é k, e portanto, são os pontos sobre um semi-cone de eixo central z. Se
0 < k <
π
2
esse semi-cone engloba o semi-eixo positivo z e ele corresponde à parte do cone
que possui ângulo de abertura k que satisfaz z ≥ 0. Se π
2
< k < π, esse semi-cone engloba o
semi-eixo negativo z e ele corresponde à parte do cone que possui ângulo de abertura π− k
que satisfaz z ≤ 0.
Exemplo 18. Em cada caso, determine a equação cartesiana correspondente à equação esférica
dada e identi�que a �gura geométrica representada pela equação.
(a) ρ = 16 cosφ. (b) ρ = 7. (c) φ =
π
6
. (d) φ =
5π
6
.
Resolução:
(a) Como cosφ =
z
ρ
, então
ρ = 16 cosφ⇒ ρ = 16z
ρ
⇒ ρ2 = 16z ⇒ x2 + y2 + z2 = 16z ⇒ x2 + y2 + z2 − 16z = 0
⇒ x2 + y2 + (z − 8)2 − 64 = 0⇒ x2 + y2 + (z − 8)2 = 64 .
Logo, essa equação corresponde à esfera de raio 8 centrada no ponto (0, 0, 8).
23
Equipe de GAAV do CEFET-MG no ERE Versão de 29 de novembro de 2020
(b) Como a equação ρ = 7 corresponde a uma esfera de raio 7 centrada na origem, então sua
equação em coordenadas cartesianas é x2 + y2 + z2 = 49 .
(c) Essa equação representa o semi-cone superior de abertura
π
6
. Como cosφ =
z
ρ
, então
φ =
π
6
⇒ cosφ = cos π
6
⇒ z
ρ
=
√
3
2
⇒ z =
√
3
2
ρ⇒ z =
√
3
2
√
x2 + y2 + z2
⇒ z2 = 3
4
(x2 + y2 + z2)⇒ z2 = 3
4
x2 +
3
4
y2 +
3
4
z2 ⇒ 1
4
z2 =
3
4
x2 +
3
4
y2
⇒ z2 = 3x2 + 3y2.
Como θ =
π
6
está entre 0 e
π
2
, então temos apenas a parte superior do cone de equação
z2 = 3x2+3y2, ou seja, a parte com z ≥ 0. Portanto, a equação cartesiana correspondente
é z =
√
3x2 + 3y2 .
(d) Essa equação representa o semi-cone inferior de abertura π − 5π
6
=
π
6
. Como cosφ =
z
ρ
,
então
φ =
5π
6
⇒ cosφ = cos 5π
6
⇒ z
ρ
= −
√
3
2
⇒ z = −
√
3
2
ρ⇒ z = −
√
3
2
√
x2 + y2 + z2
⇒ z2 = 3
4
(x2 + y2 + z2)⇒ z2 = 3
4
x2 +
3
4
y2 +
3
4
z2 ⇒ 1
4
z2 =
3
4
x2 +
3
4
y2
⇒ z2 = 3x2 + 3y2.
Como φ =
5π
6
está entre
π
2
e π, então temos apenas a parte inferior do cone de equação
z2 = 3x2+3y2, ou seja, a parte com z ≤ 0. Portanto, a equação cartesiana correspondente
é z = −
√
3x2 + 3y2 .
Exemplo 19. Em cada caso, determine a equação esférica correspondente à equação cartesiana
dada e identi�que a �gura geométrica representada pela equação.
(a) x2 + y2 + z2 = 16.
(b) z =
√
x2 + y2.
(c) z = −
√
x2 + y2.
(d) z = 5x2 + 5y2.
(e) x2 + y2 = 2.
Resolução:
(a) Como a equação x2 + y2 + z2 = 16 corresponde a uma esfera de raio 4 centrada na origem,
então sua equação em coordenadas esféricas é ρ = 4.
(b) Como a equação z =
√
x2 + y2 corresponde a parte superior do cone z2 = x2 + y2 de eixo
central z, então sua equação em coordenadas esféricas é da forma φ = k e k ∈
(
0,
π
2
)
.
Para descobrir o valor de k, vamos determinar o raio da circunferência de interseção desse
cone com algum plano paralelo ao plano xy. Por exemplo, a interseção desse cone com o
plano z = 2 é a circunferência de equação x2 + y2 = 4 que é a circunferência de raio 2.
Logo, tan k =
2
2
= 1 e, portanto, k =
π
4
. Ou seja, a equação esférica correspondente é a
equação φ =
π
4
.
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Equipe de GAAV do CEFET-MG no ERE Versão de 29 de novembro de 2020
(c) Como a equação z = −
√
x2 + y2 corresponde a parte inferior do cone z2 = x2 + y2 de eixo
central z, então sua equação em coordenadas esféricas é da forma φ = k e k ∈
(π
2
, π
)
. Já
sabemos que o ângulo de abertura desse cone é
π
4
. Como queremos o semi-cone inferior,
então
π
4
= π − k ⇒ k − π − π
4
=
3π
4
e, portanto, a equação esférica correspondente é a
equação φ =
3π
4
.
(d) A equação z = 5x2 + 5y2 (que corresponde a um paraboloide elíptico com eixo central z,
vértice na origem e voltado para o lado positivo do eixo z) pode ser escrita em coordenadas
esféricas como
z = 5x2 + 5y2 ⇒ ρ cosφ = 5(ρ sen φ cos θ)2 + 5(ρ sen φ sen θ)2
⇒ ρ cosφ = 5ρ2 sen 2φ cos2 θ + 5ρ2 sen 2φ sen 2θ
⇒ ρ cosφ = 5ρ2 sen 2φ(cos2 θ + sen 2θ)
⇒ ρ cosφ = 5ρ2 sen 2φ⇒ cosφ
5 sen 2φ
= ρ
⇒ ρ = 1
5
cosφ
sen φ
1
sen φ
⇒ ρ = 1
5
cotan φ cossec φ
(e) A equação x2 + y2 = 4 (que corresponde a um cilindro circular de raio 2 com eixo central
z), pode ser escrita em coordenadas esféricas como
x2 + y2 = 9⇒ (ρ sen φ cos θ)2 + (ρ sen φ sen θ)2 = 9
⇒ ρ2 sen 2φ cos2 θ + ρ2 sen 2φ sen 2θ = 9
⇒ ρ2 sen 2φ(cos2 θ + sen 2θ)⇒ ρ2 sen 2φ = 9
⇒ ρ2 = 9
sen 2φ
⇒ ρ2 = 9 cossec2φ
Como ρ ≥ 0 e φ ∈ [0, π] ⇒ sen φ ≥ 0 ⇒ cossec φ ≥ 0, então ρ =
√
9 cossec2φ =
3|cossec φ| = 3 cossec φ, ou seja, a equação esférica correspondente é ρ = 3 cossec φ .
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