Cálculo Diferencial e Integral 2 - Avaliação Final (Objetiva)

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1Uma das aplicações do conceito de integração é o cálculo da área entre curvas. Este procedimento permite que sejam calculadas áreas que antes, com a utilização da geometria clássica, eram inacessíveis. Sendo assim, determine a área entre as curvas y = x² e y = 2x:
I- A área entre as curvas é 4/3.
II- A área entre as curvas é 8/3.
III- A área entre as curvas é 1/6.
IV- A área entre as curvas é 15/4.
Assinale a alternativa CORRETA:
A
Somente a opção IV está correta.
B
Somente a opção II está correta.
C
Somente a opção I está correta.
D
Somente a opção III está correta.
2No cálculo integral, os métodos ou técnicas de integração são procedimentos analíticos utilizados para encontrar antiderivadas de funções. Algumas das técnicas mais conhecidas são as de integração por substituição, partes e frações parciais. Em especial, a técnica de integração por substituição consiste em aplicar a mudança de variáveis u = g(x), o que permitirá obter uma integral imediata para a resolução do problema. Sendo assim, a partir da integral a seguir, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a melhor substituição a ser utilizada:
A
u = x².
B
u = dx.
C
u = e.
D
u = x³.
3A função T(x,y) = 16x² + 32x + 40y² representa a temperatura em graus Celsius de uma placa de metal no plano cartesiano xy. Usando o teste da segunda derivada para funções de várias variáveis, assinale a alternativa CORRETA:
A
A função temperatura T tem um ponto de mínimo e um ponto de máximo.
B
A função temperatura T tem um ponto de máximo.
C
A função temperatura T tem um ponto de mínimo.
D
A função temperatura T tem um ponto sela.
4No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física. Calcule a integral indefinida a seguir e, em seguida, assinale a alternativa CORRETA:
A
Somente a opção IV está correta.
B
Somente a opção I está correta.
C
Somente a opção III está correta.
D
Somente a opção II está correta.
5O cálculo do limite de funções de várias variáveis é muito similar com o cálculo de limite de funções de uma variável, sendo necessário tomar cuidado com as indeterminações. Usando as propriedades de limite de funções de várias variáveis, determine o valor do limite:
A
3.
B
2.
C
0.
D
1.
6Uma barragem foi construída e formou um lago cuja superfície se assemelha à metade de uma circunferência no plano xy, como mostra a Figura. A profundidade desse lago em metros é dada pela função f(x,y) = 300 - x² + 2x + y². Existe um certo tipo de peixe neste lago que normalmente é encontrado nas partes mais profundas. Um biólogo pretende estudar este peixe e para isso precisa pegar um exemplar. Sabendo que o biólogo está com o bote no ponto (-2, 4), qual a direção que ele deve navegar para chegar no ponto de maior profundidade e qual é a maior profundidade?
A
(6, 8) e 14.
B
(6, 8) e 10.
C
(-2, 4) e 12.
D
(-1, 4) e 316.
7O conceito de integração possui uma base onde sua principal motivação é o cálculo de área. Geometricamente a integração calcula a área compreendida entre o eixo X e o gráfico da função a ser integrada. Isto permite uma série de aplicações importantes de seu conceito em diversas áreas do conhecimento. Baseado nisto, analise o gráfico da função a seguir, compreendida entre os valores reais de -2 até 2 e indique a opção que possui o maior valor da integral definida entre tais valores.
A
-1 e 0
B
0 e 2
C
- 2 e -1
D
-1 e 1
8O estudo de funções de várias variáveis tem como objetivo identificar propriedades das funções, por exemplo, se uma função é contínua, diferenciável, entre outras propriedades. Considere a função de duas variáveis:
A
III, apenas.
B
II, apenas.
C
I e III.
D
I, apenas.
9(ENADE, 2014) No estudo de funções de variáveis reais, buscam-se informações sobre continuidade, diferenciabilidade, entre outras. Considere uma função de duas variáveis f: R²-->R, definida por
A
III, apenas.
B
I e II, apenas.
C
II, apenas.
D
I e III, apenas.
10(ENADE, 2011).
A
60/15 unidades de área.
B
38/15 unidades de área.
C
44/15 unidades de área.
D
16/15 unidades de área.
11Para encontrar o domínio de uma função, você precisa analisar as restrições da função original. Deste modo, determine o domínio para a função a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
A
A opção II está correta.
B
A opção I está correta.
C
A opção III está correta.
D
A opção IV está correta.
12Calculando a área da região limitada pelas curvas y = 9 - x²  e  y = 0, obteremos:
A
Área igual a 27 u.a.
B
Área igual a 24 u.a.
C
Área igual a 36 u.a.
D
Área igual a 32 u.a.