Lista_de_Exerc_cios_Calculo_2_4

Prévia do material em texto

Universidade Federal Rural de Pernambuco
Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho
Cálculo Diferencial e Integral 2
Lista de Exerćıcios 4
Instruções
∗ Justifique cada resposta
∗ Não é permitido o uso de aparelhos eletrônicos
Exerćıcio 1. Determine uma equação do plano tangente à superf́ıcie no ponto
especificado
z = y2 − x2; (−4, 5, 9)a) z = 9x2+y2+6x−3y+5; (1, 2, 18)b)
z =
√
4− x2 − 2y2; (1,−1, 1)c) z = sen (x+ y); (1,−1, 0)d)
z = ln (2x+ y); (−1, 3, 0)e) z = ex ln y; (3, 1, 0)f)
Exerćıcio 2. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. Faça
então a linearização L(x, y) da função no ponto
f(x, y) = x
√
y; (1, 4)a) f(x, y) = y lnx; (2, 1)b)
f(x, y) = ex cos (xy); (0, 0)c) f(x, y) =
x
y
; (6, 3)d)
f(x, y) = arctg (x+ 2y); (1, 0)e) f(x, y) =
√
1 + x2y2; (0, 2)f)
Exerćıcio 3. Determine a aproximação linear da função
f(x, y) =
√
20− x2 − 7y2 em (2, 1) e use-a para aproximar f(1.95, 1.08).
Exerćıcio 4. Determine a aproximação linear da função
f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2 em (3, 2, 6) e use-a para aproximar√
(3.02)2 + (1.97)2 + (5.99)2.
Exerćıcio 5. Determine o diferencial da função
z = x2y3a) v = ln (2x− 3y)b)
u = et sen θc) u =
r
s+ 2t
d)
w = ln
√
x2 + y2 + z2e) w = x sen (yz)f)
Exerćıcio 6. Se o comprimento e a largura de um retângulo foram medidos
como 30 cm e 24 cm, respectivamente, com um erro de medida de no máximo
0.1 cm. Utilize os diferenciais para estimar o erro máximo cometido no cálculo
da área do retângulo.
Exerćıcio 7. As dimensões de uma caixa fechada retangular foram medidas
como 80 cm, 60 cm e 50 cm, respectivamente, com erro máximo de 0.2 cm em
cada dimensão. Utilize diferenciais para estimar o máximo erro no cálculo da
área da superf́ıcie da caixa.
Exerćıcio 8. A pressão, o volume e a temperatura de um mol de um gás
ideal estão relacionados pela equação PV = 8.31 T , onde P é a medida em
quilopascals, V em litros e T em kelvins. Utilize diferenciais para determinar a
variação aproximada da pressão se o volume aumenta de 12 L para 12.3 L e a
temperatura diminui de 310 K para 305 K.
Exerćıcio 9. Se R é a resistência equivalente de três resistências conectadas
em paralelo, com valores R1, R2 e R3, então
1
R
=
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
Se as resistências medem em ohms R1 = 25 Ω, R2 = 40 Ω e R3 = 50 Ω, com
precisão de 0.5% em cada uma, estime o erro máximo no cálculo da resistência
equivalente de R.
Exerćıcio 10. Use a Regra da Cadeia para determinar
dz
dt
ou
dw
dt
a) z = x2y + xy2, x = 2 + t4, y = 1− t3
b) z =
√
x2 + y2, x = e2t, y = e−2t
c) z = sen x cos y, x = πt, y =
√
t
d) z = x ln (x+ 2y), x = sen t, y = cos t
e) w = xey/z, x = t2, y = 1− t, z = 1 + 2t
f) w = xy + yz2, x = et, y = et sen t, z = et cos t
Exerćıcio 11. Utilize a Regra da Cadeia para determinar
∂z
∂s
e
∂z
∂t
a) z = x2 + xy + y2, x = s+ t, y = st
b) z =
x
y
, x = set, y = 1 + se−t
c) z = arctg (2x+ y), x = s2t, y = s ln t
d) z = exy tg y, x = s+ 2t, y =
s
t
e) z = er cos θ, r = st, θ =
√
s2 + t2
f) z = sen α tg β, α = 3s+ t, β = s− t
2
Exerćıcio 12. Se z = f(x, y), onde x = g(t), y = h(t) e g(3) = 2, g′(3) = 5,
h(3) = 7, h′(3) = −4, fx(2, 7) = 6 e fy(2, 7) = −8, determine
dz
dt
quando t = 3.
Exerćıcio 13. SejaW (s, t) = F (u(s, t), v(s, t)), onde u(1, 0) = 2, us(1, 0) = −2,
ut(1, 0) = 6, v(1, 0) = 3, vs(1, 0) = 5, vt(1, 0) = 4, Fu(2, 3) = −1 e Fv(2, 3) = 10.
Determine Ws(1, 0) e Wt(1, 0).
Exerćıcio 14. Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais
indicadas
a) w = x2 + y2 + z2, x = st, y = s cos t, z = s sen t;
∂w
∂s
,
∂w
∂t
quando s = 1, t = 0.
b) u = xy + yz + zx, x = st, y = est, z = t2;
∂u
∂s
,
∂u
∂t
quando s = 0, t = 1.
c) z = y2 tg x, x = t2uv, y = u+ tv2;
∂z
∂t
,
∂z
∂u
,
∂z
∂v
quando t = 2, u = 1, v = 0.
d) z =
x
y
, x = rest, y = rset;
∂z
∂r
,
∂z
∂s
,
∂z
∂t
quando r = 1, s = 2, t = 0.
Exerćıcio 15. A temperatura num ponto (x, y) é T (x, y), medida em graus
Celsius. Um inseto rasteja de modo que sua posição depois de t segundos seja
dada por x =
√
1 + t, y = 2 +
t
3
, onde x e y são medidas em cent́ımetros.
A função temperatura satisfaz Tx(2, 3) = 4 e Ty(2, 3) = 3. Quão rápido a
temperatura aumenta no caminho do inseto depois de 3 segundos?
Exerćıcio 16. O raio de um cone circular reto aumenta a uma taxa de 1.8
pol/s, ao passo que sua altura está decrescendo à taxa de 2.5 pol/s. A que taxa
o volume do cone está mudando quando o raio vale 120 pol e a altura 140 pol?
Exerćıcio 17. A voltagem V num circuito elétrico simples está decrescendo
devagar à medida que a bateria se descarrega. A resistência R está aumentando
devagar com o aumento de calor do resistor. Use a Lei de Ohm, V = IR,
para achar como a corrente I está variando no momento em que R = 400 Ω,
I = 0.08A,
dV
dt
= −0.01 V/s e dR
dt
= 0.03 Ω/s.
Exerćıcio 18. A pressão (em quilopascals) de um mol de um gás ideal é aumen-
tada à taxa de 0.05 kPa/s, e a temperatura (em Kelvins) é aumentada à taxa
de 0.15 K/s. Utilize a equação PV = 8.31 T , onde o volume V é especificado
em litros, para achar a taxa de variação do volume quando a pressão é 20 kPa
e a temperatura é 320K.
3
Exerćıcio 19. Assuma que todas as funções dadas são diferenciáveis
a) Se z = f(x, y), onde x = r cos θ e y = r sen θ, determine
∂z
∂r
e
∂z
∂θ
e mostre
que (
∂z
∂x
)2
+
(
∂z
∂y
)2
=
(
∂z
∂r
)2
+
1
r2
·
(
∂z
∂θ
)2
b) Se z = f(x− y), mostre que ∂z
∂x
+
∂z
∂y
= 0.
Exerćıcio 20. Assuma que todas as funções dadas tenham derivadas parciais
de segunda ordem cont́ınuas.
a) Mostre que qualquer função da forma z = f(x+at)+g(x−at) é uma solução
da equação da onda
∂2z
∂t2
= a2 · ∂
2z
∂x2
.
Dica: u = x+ at, v = x− at
b) Se u = f(x, y), onde x = es cos t e y = es sen t, mostre que
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= e−2s ·
[
∂2u
∂s2
+
∂2u
∂t2
]
Exerćıcio 21. Uma função é dita homogênea de grau n se satisfaz a equação
f(tx, ty) = tnf(x, y) para todo valor de t, onde n é um inteiro positivo e f tem
segunda derivada parcial cont́ınua.
a) Verifique que f(x, y) = x2y + 2xy2 + 5y3 é homogênea de grau 3
b) Mostre que se f é homogênea de grau n, então
x
∂f
∂x
+ y
∂f
∂y
= nf(x, y)
Dica: Utilize a Regra da Cadeia para derivar f(tx, ty) com relação a t.
Exerćıcio 22. Se f é homogênea de grau n, mostre que
a) x2
∂2f
∂x2
+ 2xy
∂2f
∂x ∂y
+ y2
∂2f
∂y2
= n(n− 1)f(x, y)
b) fx(tx, ty) = t
n−1fx(x, y)
4